Страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ найдите угол между плоскостями $AFF_1$ и $BDD_1$.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Найти: Угол между плоскостями $AFF_1$ и $BDD_1$.

Решение:

1. Рассмотрим плоскости $AFF_1$ и $BDD_1$. Плоскость $AFF_1$ содержит боковую грань $AFF_1A_1$. Плоскость $BDD_1$ является диагональной плоскостью, проходящей через вершины $B$ и $D$ нижнего основания и соответствующие им вершины $B_1$ и $D_1$ верхнего основания.

2. Так как призма является правильной, ее боковые ребра (например, $AA_1$, $BB_1$, $DD_1$, $FF_1$) перпендикулярны плоскостям оснований. Обе заданные плоскости, $AFF_1$ и $BDD_1$, содержат боковые ребра ($AA_1$ и $FF_1$ для первой, $BB_1$ и $DD_1$ для второй). Это означает, что обе плоскости перпендикулярны плоскости основания призмы.

3. Если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости (в нашем случае, плоскости основания $ABCDEF$), то угол между ними равен углу между их линиями пересечения с этой третьей плоскостью. Линией пересечения плоскости $AFF_1$ с плоскостью основания является прямая, содержащая отрезок $AF$. Линией пересечения плоскости $BDD_1$ с плоскостью основания является прямая, содержащая отрезок $BD$. Таким образом, задача сводится к нахождению угла между прямыми $AF$ и $BD$ в плоскости правильного шестиугольника.

4. Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ в плоскости. Пусть $O$ - центр шестиугольника, и $a$ - длина его стороны. Расположим центр $O$ в начале координат $(0,0)$.

5. Определим координаты вершин, чтобы найти углы наклона прямых. Пусть вершина $A$ лежит на положительной оси X.

• $A = (a, 0)$
• $B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ)) = (a/2, a\sqrt{3}/2)$
• $D = (a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ)) = (-a, 0)$
• $F = (a \cos(300^\circ), a \sin(300^\circ)) = (a/2, -a\sqrt{3}/2)$

6. Найдем угол наклона прямой $AF$.

Угловой коэффициент прямой $AF$ равен $m_{AF} = \frac{y_F - y_A}{x_F - x_A} = \frac{-a\sqrt{3}/2 - 0}{a/2 - a} = \frac{-a\sqrt{3}/2}{-a/2} = \sqrt{3}$.

Угол $\alpha_1$ между прямой $AF$ и положительным направлением оси X определяется как $\tan \alpha_1 = \sqrt{3}$. Следовательно, $\alpha_1 = 60^\circ$.

7. Найдем угол наклона прямой $BD$.

Угловой коэффициент прямой $BD$ равен $m_{BD} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{0 - a\sqrt{3}/2}{-a - a/2} = \frac{-a\sqrt{3}/2}{-3a/2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Угол $\alpha_2$ между прямой $BD$ и положительным направлением оси X определяется как $\tan \alpha_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Следовательно, $\alpha_2 = 30^\circ$.

8. Угол между плоскостями $AFF_1$ и $BDD_1$ равен углу между их следами $AF$ и $BD$ на плоскости основания. Этот угол равен абсолютному значению разности углов наклона:

$\theta = |\alpha_1 - \alpha_2| = |60^\circ - 30^\circ| = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями $ABC$ и $BDE$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1.

Плоскость 1: $ABC$.

Плоскость 2: $BDE$.

Перевод в СИ: Длина ребра $a = 1$ (условная единица длины). Высота призмы $h = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Угол между плоскостями $ABC$ и $BDE$.

Решение:

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ вершины $A, B, C, D, E, F$ являются вершинами нижнего основания. Нижнее основание призмы представляет собой правильный шестиугольник $ABCDEF$, и все его вершины лежат в одной плоскости.

Плоскость $ABC$ определяется тремя точками $A, B, C$. Поскольку эти точки являются вершинами нижнего основания призмы, плоскость $ABC$ совпадает с плоскостью этого нижнего основания.

Плоскость $BDE$ определяется тремя точками $B, D, E$. Поскольку эти точки также являются вершинами того же самого нижнего основания призмы, плоскость $BDE$ также совпадает с плоскостью этого нижнего основания.

Таким образом, обе заданные плоскости, $ABC$ и $BDE$, являются одной и той же плоскостью — плоскостью нижнего основания призмы.

Угол между двумя совпадающими плоскостями по определению равен $0^\circ$.

Ответ:

$0^\circ$

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ найдите угол между плоскостями $ACC_1$ и $BFF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Найти:

Угол между плоскостями $ACC_1$ и $BFF_1$.

Решение:

1. Плоскость $ACC_1$ содержит боковое ребро $CC_1$. Поскольку призма является правильной, все боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Из этого следует, что плоскость $ACC_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

2. Аналогично, плоскость $BFF_1$ содержит боковое ребро $FF_1$, которое также перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, плоскость $BFF_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

3. Если две плоскости (в данном случае $ACC_1$ и $BFF_1$) перпендикулярны третьей плоскости (основанию $ABCDEF$), то угол между этими двумя плоскостями равен углу между их линиями пересечения с третьей плоскостью.

4. Линия пересечения плоскости $ACC_1$ с плоскостью основания $ABCDEF$ — это диагональ $AC$ правильного шестиугольника.

5. Линия пересечения плоскости $BFF_1$ с плоскостью основания $ABCDEF$ — это диагональ $BF$ правильного шестиугольника.

6. Таким образом, задача сводится к нахождению угла между диагоналями $AC$ и $BF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ в его основании.

7. Рассмотрим правильный шестиугольник с центром $O$ и стороной $a$. Угол между двумя плоскостями определяется как острый угол между их нормалями или, в данном случае, как острый угол между линиями их пересечения с перпендикулярной им плоскостью.

8. Расположим центр шестиугольника $O$ в начале координат $(0,0)$. Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a$ можно записать, например, так:

$A = (a, 0)$

$B = (a \cos 60^\circ, a \sin 60^\circ) = (a/2, a\sqrt{3}/2)$

$C = (a \cos 120^\circ, a \sin 120^\circ) = (-a/2, a\sqrt{3}/2)$

$F = (a \cos 300^\circ, a \sin 300^\circ) = (a/2, -a\sqrt{3}/2)$

9. Найдем векторы, соответствующие диагоналям $AC$ и $BF$:

$\vec{AC} = C - A = (-a/2 - a, a\sqrt{3}/2 - 0) = (-3a/2, a\sqrt{3}/2)$

$\vec{BF} = F - B = (a/2 - a/2, -a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/2) = (0, -a\sqrt{3})$

10. Вычислим длины этих векторов:

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-3a/2)^2 + (a\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{9a^2/4 + 3a^2/4} = \sqrt{12a^2/4} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

$|\vec{BF}| = \sqrt{0^2 + (-a\sqrt{3})^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

11. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BF}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{BF} = (-3a/2)(0) + (a\sqrt{3}/2)(-a\sqrt{3}) = 0 - (a\sqrt{3})^2/2 = -3a^2/2$

12. Угол $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле $\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

$\cos\alpha = \frac{-3a^2/2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{-3a^2/2}{3a^2} = -1/2$

13. Следовательно, $\alpha = \arccos(-1/2) = 120^\circ$.

14. Угол между плоскостями всегда принимается как острый или прямой (от $0^\circ$ до $90^\circ$). Если угол между направляющими векторами линий составляет $120^\circ$, то острый угол между этими линиями (и, соответственно, между плоскостями) равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, найдите угол между плоскостями $ADD_1$ и $BFF_1$.

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Найти:

Угол между плоскостями $ADD_1$ и $BFF_1$.

Решение:

Рассмотрим правильную шестиугольную призму $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$. Это означает, что основания призмы, $ABCDEF$ и $A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, являются правильными шестиугольниками, а боковые рёбра призмы ($AA_1, BB_1, CC_1, DD_1, EE_1, FF_1$) перпендикулярны плоскостям оснований.

Пусть $O$ - центр нижнего основания $ABCDEF$, а $O_1$ - центр верхнего основания $A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$. Прямая $OO_1$ соединяет центры оснований и является осью призмы. Она перпендикулярна обеим плоскостям оснований.

Рассмотрим плоскость $ADD_1$. Эта плоскость содержит прямую $AD$ и прямую $DD_1$. Так как боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, то плоскость $ADD_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. (Плоскость $ADD_1$ это то же самое, что плоскость $ADD_1A_1$).

Аналогично, рассмотрим плоскость $BFF_1$. Эта плоскость содержит прямую $BF$ и прямую $FF_1$. Так как боковое ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, то плоскость $BFF_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. (Плоскость $BFF_1$ это то же самое, что плоскость $BFF_1B_1$).

Поскольку обе плоскости $ADD_1$ и $BFF_1$ перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$, их линия пересечения также должна быть перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Диагонали $AD$ и $BF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ являются большими диагоналями и пересекаются в его центре $O$. Таким образом, точка $O$ принадлежит как прямой $AD$ (и, следовательно, плоскости $ADD_1$), так и прямой $BF$ (и, следовательно, плоскости $BFF_1$). Аналогично, точка $O_1$ (центр верхнего основания) принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, линия пересечения плоскостей $ADD_1$ и $BFF_1$ является прямой $OO_1$.

Чтобы найти угол между двумя плоскостями, необходимо выбрать точку на их линии пересечения (например, точку $O$) и провести через эту точку две прямые: одну в первой плоскости, перпендикулярную линии пересечения, и вторую во второй плоскости, также перпендикулярную линии пересечения. Угол между этими двумя прямыми и будет искомым углом между плоскостями.

В плоскости $ADD_1$, прямая $AD$ проходит через $O$ и лежит в плоскости основания $ABCDEF$. Поскольку прямая $OO_1$ перпендикулярна плоскости $ABCDEF$, то любая прямая в плоскости основания, проходящая через $O$, перпендикулярна $OO_1$. Таким образом, $AD \perp OO_1$. Значит, прямая $AD$ является одной из искомых прямых.

В плоскости $BFF_1$, прямая $BF$ проходит через $O$ и лежит в плоскости основания $ABCDEF$. Аналогично, $BF \perp OO_1$. Значит, прямая $BF$ является второй искомой прямой.

Следовательно, угол между плоскостями $ADD_1$ и $BFF_1$ равен углу между прямыми $AD$ и $BF$.

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ в плоскости основания. В правильном шестиугольнике все большие диагонали (соединяющие противоположные вершины, такие как $AD$, $BE$, $CF$) проходят через его центр $O$. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, образованных его сторонами и отрезками, соединяющими центр $O$ с вершинами. Угол между радиусами, идущими к соседним вершинам, равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$. То есть, $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOE = \angle EOF = \angle FOA = 60^\circ$.

Прямая $AD$ содержит отрезки $AO$ и $OD$. Прямая $BF$ содержит отрезки $BO$ и $OF$. Эти две прямые пересекаются в центре $O$. Угол между прямыми $AD$ и $BF$ - это острый угол, образованный их пересечением. Этот угол равен $\angle AOB = 60^\circ$ (или $\angle AOF = 60^\circ$, $\angle COD = 60^\circ$, $\angle DOE = 60^\circ$, $\angle EOF = 60^\circ$, $\angle FOA = 60^\circ$). Все углы между большими диагоналями правильного шестиугольника, пересекающимися в его центре, равны $60^\circ$.

Таким образом, угол между плоскостями $ADD_1$ и $BFF_1$ равен $60^\circ$.

Ответ:

Угол между плоскостями $ADD_1$ и $BFF_1$ равен $60^\circ$.

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями $ABC$ и $BCE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Угол между плоскостями $ABC$ и $BCE_1$.

Решение:

Обозначим угол между плоскостями $ABC$ и $BCE_1$ как $\theta$.

Плоскость $ABC$ является плоскостью основания призмы. Введем систему координат с началом в центре $O$ нижнего основания. Поскольку призма правильная и все ее ребра равны 1, высота призмы $AA_1 = BB_1 = \dots = 1$. Длина стороны основания $AB=BC=\dots=FA=1$.

Координаты вершин нижнего основания (плоскость $z=0$):

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Для плоскости $ABC$ (которая совпадает с плоскостью $z=0$), нормальный вектор можно взять как $\vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1)$.

Для плоскости $BCE_1$ нам нужны координаты точек $B$, $C$, $E_1$.

• $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $E_1$: точка $E_1$ находится над точкой $E$ на высоте 1. $E_1 = E + (0, 0, 1) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем два вектора, лежащих в плоскости $BCE_1$:

• $\vec{CB} = B - C = (1/2 - (-1/2), \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (1, 0, 0)$
• $\vec{CE_1} = E_1 - C = (-1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}_{BCE_1}$ к плоскости $BCE_1$ найдем как векторное произведение $\vec{CB} \times \vec{CE_1}$:

$\vec{n}_{BCE_1} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3})) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 0)$

$\vec{n}_{BCE_1} = (0, -1, -\sqrt{3})$

Угол $\theta$ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Косинус этого угла можно найти по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}_{BCE_1}|}{||\vec{n}_{ABC}|| \cdot ||\vec{n}_{BCE_1}||}$

Вычислим скалярное произведение и длины векторов:

• $\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}_{BCE_1} = (0)(0) + (0)(-1) + (1)(-\sqrt{3}) = -\sqrt{3}$
• $||\vec{n}_{ABC}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$
• $||\vec{n}_{BCE_1}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

Подставим значения в формулу для $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{|-\sqrt{3}|}{1 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями $BCE_1$ и $BCC_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все рёбра призмы равны 1. То есть, сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Перевод в СИ:
Поскольку все длины заданы в безразмерных единицах (равны 1), перевод в СИ не требуется.

Найти:

Угол между плоскостями $BCE_1$ и $BCC_1$.

Решение

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях, которые перпендикулярны к линии их пересечения в одной и той же точке.

1.Найдём линию пересечения плоскостей $BCE_1$ и $BCC_1$.
Обе плоскости содержат точки $B$ и $C$. Следовательно, линия их пересечения - это прямая $BC$.

2.Найдём прямую в плоскости $BCC_1$, перпендикулярную $BC$ в точке $C$.
Плоскость $BCC_1$ - это боковая грань $BCC_1B_1$. Поскольку призма правильная, боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Значит, $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$, а следовательно, $CC_1$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через $C$, в том числе и $BC$.
Таким образом, $CC_1$ лежит в плоскости $BCC_1$ и $CC_1 \perp BC$. Длина $CC_1 = 1$.

3.Найдём прямую в плоскости $BCE_1$, перпендикулярную $BC$ в точке $C$.
Для этого рассмотрим треугольник $BCE_1$. Найдём длины его сторон.
$BC = 1$ (сторона основания шестиугольника).
$CE$ - это короткая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Для шестиугольника со стороной $a$, длина короткой диагонали равна $a\sqrt{3}$.
Следовательно, $CE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$BE$ - это длинная диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Для шестиугольника со стороной $a$, длина длинной диагонали равна $2a$.
Следовательно, $BE = 2 \cdot 1 = 2$.
Теперь найдём $CE_1$ и $BE_1$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $CEE_1$ (прямой угол в $E$, так как $EE_1$ перпендикулярна плоскости основания).
$CE_1 = \sqrt{CE^2 + EE_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BEE_1$ (прямой угол в $E$).
$BE_1 = \sqrt{BE^2 + EE_1^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
Итак, стороны треугольника $BCE_1$ равны: $BC=1$, $CE_1=2$, $BE_1=\sqrt{5}$.
Проверим, является ли $\triangle BCE_1$ прямоугольным, используя теорему Пифагора:
$BC^2 + CE_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.
Так как $BC^2 + CE_1^2 = BE_1^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $BCE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.
Следовательно, $CE_1 \perp BC$. Прямая $CE_1$ лежит в плоскости $BCE_1$.

4.Определим угол между плоскостями.
Угол между плоскостями $BCE_1$ и $BCC_1$ - это угол между прямыми $CC_1$ и $CE_1$, то есть $\angle E_1CC_1$.
Рассмотрим треугольник $C_1CE_1$.
Его стороны: $CC_1 = 1$ (боковое ребро призмы).
$C_1E_1$ - короткая диагональ верхнего основания, её длина равна $\sqrt{3}$.
$CE_1 = 2$ (вычислено ранее).
Поскольку $CC_1$ перпендикулярна плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, то $CC_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через $C_1$, в том числе и $C_1E_1$.
Следовательно, треугольник $C_1CE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C_1$.
В прямоугольном треугольнике $C_1CE_1$ нам нужно найти угол $\angle E_1CC_1$.
Косинус этого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(\angle E_1CC_1) = \frac{CC_1}{CE_1}$.
$\cos(\angle E_1CC_1) = \frac{1}{2}$.
Из этого следует, что $\angle E_1CC_1 = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $CA_1$.

Дано:

Куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB$ и $CA_1$.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$.

Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Оси координат направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$.

Тогда координаты вершин будут:

$A = (0,0,0)$

$B = (a,0,0)$

$C = (a,a,0)$

$A_1 = (0,0,a)$

Для прямой $AB$ направляющим вектором является вектор $\vec{AB}$.

$\vec{AB} = B - A = (a-0, 0-0, 0-0) = (a,0,0)$.

В качестве направляющего вектора $\vec{u}$ прямой $AB$ можно взять вектор $(1,0,0)$, поделив на $a$.

Для прямой $CA_1$ направляющим вектором является вектор $\vec{CA_1}$.

$\vec{CA_1} = A_1 - C = (0-a, 0-a, a-0) = (-a,-a,a)$.

В качестве направляющего ветора $\vec{v}$ прямой $CA_1$ можно взять вектор $(1,1,-1)$, умножив координаты на $-\frac{1}{a}$.

Косинус угла $\theta$ между двумя прямыми определяется формулой:

$\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(1) + (0)(1) + (0)(-1) = 1 + 0 + 0 = 1$.

Вычислим длины (модули) векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим эти значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Рационализируем знаменатель:

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите тангенс угла между прямыми $AB$ и $DB_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Тангенс угла между прямыми $AB$ и $DB_1$.

Решение:

1. Пусть длина ребра куба равна $a$.

2. Угол между скрещивающимися прямыми определяется как угол между одной из этих прямых и прямой, параллельной другой прямой и проходящей через точку первой прямой. Прямая $DC$ параллельна прямой $AB$. Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $DB_1$ равен углу между прямыми $DC$ и $DB_1$. Эти две прямые пересекаются в точке $D$, образуя угол $\angle CDB_1$.

3. Рассмотрим треугольник $DCB_1$.

Ребро $DC$ куба перпендикулярно плоскости грани $BCC_1B_1$, так как $DC \perp BC$ (стороны квадрата) и $DC \perp CC_1$ (смежные ребра куба). Так как $BC$ и $CC_1$ являются двумя пересекающимися прямыми в плоскости $BCC_1B_1$, то прямая $DC$ перпендикулярна этой плоскости.

Поскольку прямая $CB_1$ лежит в плоскости $BCC_1B_1$ и проходит через точку $C$, то $DC \perp CB_1$.

Таким образом, треугольник $DCB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

4. Вычислим длины катетов прямоугольного треугольника $DCB_1$:

Катет $DC$ является ребром куба, поэтому $DC = a$.

Катет $CB_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. В прямоугольном треугольнике $BCC_1$ (с прямым углом при $C$), по теореме Пифагора:

$CB_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

5. Тангенс угла $\angle CDB_1$ (обозначим его $\alpha$) в прямоугольном треугольнике $DCB_1$ определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CB_1}{DC}$.

6. Подставим найденные значения:

$\tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите косинус угла между прямыми $BD_1$ и $DB_1$.

Дано:
Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:
Косинус угла между прямыми $BD_1$ и $DB_1$.

Решение:
Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ребра куба $AB$, $AD$, $AA_1$ направим вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Определим координаты необходимых вершин:
$A(0,0,0)$
$B(a,0,0)$
$D(0,a,0)$
$B_1(a,0,a)$ (так как $B_1$ находится над $B$ на высоте $a$)
$D_1(0,a,a)$ (так как $D_1$ находится над $D$ на высоте $a$)

Найдем векторы, которые задают направления прямых $BD_1$ и $DB_1$.
Вектор $\vec{BD_1}$ находится как разность координат конечной точки и начальной точки:
$\vec{u} = \vec{BD_1} = D_1 - B = (0-a, a-0, a-0) = (-a, a, a)$

Вектор $\vec{DB_1}$ также находится как разность координат конечной и начальной точки:
$\vec{v} = \vec{DB_1} = B_1 - D = (a-0, 0-a, a-0) = (a, -a, a)$

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле скалярного произведения:
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-a)(a) + (a)(-a) + (a)(a) = -a^2 - a^2 + a^2 = -a^2$

Вычислим длины (модули) векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:
$|\vec{u}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$
$|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{-a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{-a^2}{3a^2} = -\frac{1}{3}$

Угол между прямыми обычно определяется как наименьший из углов, образованных при их пересечении, то есть как острый угол, косинус которого должен быть неотрицательным. Если косинус, полученный из скалярного произведения, отрицательный, это означает, что угол между векторами тупой. Для определения косинуса угла между прямыми, мы берем абсолютное значение от полученного косинуса:
$\cos \alpha = |\cos \theta| = \left|-\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3}$

Ответ: $1/3$

4. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите косинус угла между прямыми $AC_1$ и $CA_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Косинус угла между прямыми $AC_1$ и $CA_1$.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ направим вдоль ребер $AB$, $AD$, $AA_1$ соответственно.

Тогда координаты вершин, необходимых для решения задачи, будут: $A = (0, 0, 0)$ $C = (a, a, 0)$ $A_1 = (0, 0, a)$ $C_1 = (a, a, a)$

Найдем векторы, соответствующие прямым $AC_1$ и $CA_1$: Вектор $\vec{AC_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{AC_1} = C_1 - A = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$.

Вектор $\vec{CA_1}$ также определяется как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{CA_1} = A_1 - C = (0-a, 0-a, a-0) = (-a, -a, a)$.

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле скалярного произведения: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{CA_1}$: $\vec{AC_1} \cdot \vec{CA_1} = (a)(-a) + (a)(-a) + (a)(a) = -a^2 - a^2 + a^2 = -a^2$.

Вычислим модули (длины) векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{CA_1}$: $|\vec{AC_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. $|\vec{CA_1}| = \sqrt{(-a)^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла: $\cos \theta = \frac{-a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{-a^2}{3a^2} = -\frac{1}{3}$.

По определению, угол между двумя прямыми принимается как наименьший из двух углов, образованных при их пересечении, то есть острый или прямой угол ($0^\circ \le \theta \le 90^\circ$). Косинус такого угла должен быть неотрицательным. Если скалярное произведение дает отрицательный косинус, это означает, что угол между векторами тупой ($\theta > 90^\circ$). В этом случае угол между прямыми будет равен $180^\circ - \theta$, и его косинус будет равен абсолютной величине полученного значения.

Следовательно, косинус угла между прямыми $AC_1$ и $CA_1$ равен $|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

5. В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $AD$. Найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $CE$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.
Точка $E$ — середина ребра $AD$.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB$ и $CE$.

Решение:

Пусть длина ребра правильного тетраэдра равна $a$. В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками, и все ребра равны по длине. Угол между любыми двумя ребрами, выходящими из одной вершины, равен $60^\circ$.

Воспользуемся векторным методом. Пусть векторы, исходящие из вершины $A$, будут $\vec{AB} = \mathbf{b}$, $\vec{AC} = \mathbf{c}$, $\vec{AD} = \mathbf{d}$.

Длины этих векторов равны длине ребра тетраэдра: $|\mathbf{b}| = |\mathbf{c}| = |\mathbf{d}| = a$.

Скалярные произведения любых двух из этих векторов, исходящих из одной вершины, вычисляются по формуле $|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos \alpha$, где $\alpha = 60^\circ$:
$\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = |\mathbf{b}||\mathbf{c}|\cos 60^\circ = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
Аналогично, $\mathbf{b} \cdot \mathbf{d} = \frac{a^2}{2}$ и $\mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = \frac{a^2}{2}$.

Нам нужно найти косинус угла между прямыми $AB$ и $CE$. Это можно сделать, найдя косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CE}$. Угол между прямыми по определению является острым или прямым, поэтому его косинус всегда неотрицателен. Если результат скалярного произведения векторов даст отрицательное значение, мы возьмем его абсолютную величину.

Вектор, представляющий прямую $AB$, это $\vec{u} = \vec{AB} = \mathbf{b}$.

Выразим вектор $\vec{CE}$ через базисные векторы. Используем правило треугольника:
$\vec{CE} = \vec{AE} - \vec{AC}$.
Так как точка $E$ — середина ребра $AD$, то вектор $\vec{AE}$ равен половине вектора $\vec{AD}$:
$\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\mathbf{d}$.
Следовательно, вектор $\vec{v} = \vec{CE} = \frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{c}$.

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \mathbf{b} \cdot \left(\frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{c}\right) = \frac{1}{2}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$.
Подставим ранее найденные значения скалярных произведений:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = -\frac{a^2}{4}$.

Далее найдем длины векторов $|\vec{u}|$ и $|\vec{v}|$:
$|\vec{u}| = |\mathbf{b}| = a$.
Длину вектора $\vec{v}$ найдем, возведя его в квадрат (скалярное произведение вектора на самого себя):
$|\vec{v}|^2 = \left|\frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{c}\right|^2 = \left(\frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{c}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{c}\right)$.
Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:
$|\vec{v}|^2 = \left(\frac{1}{2}\mathbf{d}\right)^2 - 2 \left(\frac{1}{2}\mathbf{d}\right) \cdot \mathbf{c} + \mathbf{c}^2$.
$|\vec{v}|^2 = \frac{1}{4}|\mathbf{d}|^2 - (\mathbf{d} \cdot \mathbf{c}) + |\mathbf{c}|^2$.
Подставим известные длины векторов и скалярное произведение:
$|\vec{v}|^2 = \frac{1}{4}a^2 - \frac{a^2}{2} + a^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$|\vec{v}|^2 = \frac{1}{4}a^2 - \frac{2}{4}a^2 + \frac{4}{4}a^2 = \frac{1 - 2 + 4}{4}a^2 = \frac{3}{4}a^2$.
Следовательно, длина вектора $\vec{v}$ равна:
$|\vec{v}| = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь вычислим косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ по формуле:
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.
$\cos \theta = \frac{-a^2/4}{a \cdot (a\sqrt{3}/2)} = \frac{-a^2/4}{a^2\sqrt{3}/2}$.
Сократим $a^2$ и упростим дробь:
$\cos \theta = \frac{-1/4}{\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$.

Так как искомый угол — это угол между прямыми, мы берем абсолютное значение косинуса:
$\cos \alpha = \left|-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right| = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\cos \alpha = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

6. В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $BC$. Найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $DE$.

Дано:

• Правильный тетраэдр $ABCD$.
• Точка $E$ — середина ребра $BC$.

Найти:

• Косинус угла между прямыми $AB$ и $DE$.

Решение

Пусть длина ребра правильного тетраэдра равна $a$. Все грани правильного тетраэдра являются равносторонними треугольниками.

Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми $AB$ и $DE$, перенесем одну из прямых так, чтобы она пересекалась с другой. Найдем прямую, параллельную $AB$ и пересекающую $DE$.

Рассмотрим грань $ABC$. Точка $E$ является серединой ребра $BC$. Пусть $M$ — середина ребра $AC$. Тогда отрезок $ME$ является средней линией треугольника $ABC$.

По свойству средней линии, $ME \parallel AB$ и $ME = \frac{1}{2} AB$.

Таким образом, угол между прямыми $AB$ и $DE$ равен углу между прямыми $ME$ и $DE$, то есть $\angle MED$.

Найдем длины сторон треугольника $MDE$:

1. Длина $ME$: Так как $ME$ — средняя линия треугольника $ABC$, то $ME = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$.
2. Длина $DE$: Ребро $DE$ является медианой равностороннего треугольника $DBC$ (так как $DBC$ — грань правильного тетраэдра со стороной $a$). Длина медианы $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $DE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
3. Длина $DM$: Ребро $DM$ является медианой равностороннего треугольника $ADC$ (так как $ADC$ — грань правильного тетраэдра со стороной $a$, и $M$ — середина $AC$). Следовательно, $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь у нас есть треугольник $MDE$ со сторонами $ME = \frac{a}{2}$, $DE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ и $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Применим теорему косинусов для нахождения косинуса угла $\angle MED$ (обозначим его как $\theta$):

$DM^2 = ME^2 + DE^2 - 2 \cdot ME \cdot DE \cdot \cos\theta$

Подставим известные значения:

$\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{a}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos\theta$

$\frac{3a^2}{4} = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \cos\theta$

$\frac{3a^2}{4} = a^2 - \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\theta$

Вычтем $a^2$ из обеих частей уравнения:

$\frac{3a^2}{4} - a^2 = - \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\theta$

$\frac{3a^2 - 4a^2}{4} = - \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\theta$

$-\frac{a^2}{4} = - \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\theta$

Разделим обе части на $-a^2$ (поскольку $a \ne 0$):

$\frac{1}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\theta$

Выразим $\cos\theta$:

$\cos\theta = \frac{1/4}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos\theta = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$

7. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E, F$ — середины ребер соответственно $AB$ и $BC$. Найдите косинус угла $EDF$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Точки $E$ и $F$ – середины рёбер $AB$ и $BC$ соответственно.

Длину ребра тетраэдра обозначим как $a$.

Найти:

Косинус угла $EDF$, то есть $\cos(\angle EDF)$.

Решение:

Для нахождения косинуса угла $EDF$ в треугольнике $EDF$ воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$. Отсюда, $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$. Применяя эту формулу к углу $EDF$ в треугольнике $EDF$:

$\cos(\angle EDF) = \frac{DE^2 + DF^2 - EF^2}{2 \cdot DE \cdot DF}$.

Найдем длины сторон треугольника $EDF$.

1.Длина отрезка $EF$:

Точки $E$ и $F$ являются серединами рёбер $AB$ и $BC$ соответственно. Грань $ABC$ правильного тетраэдра представляет собой равносторонний треугольник со стороной $a$. Отрезок $EF$ является средней линией треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. В данном случае, $EF = \frac{1}{2} AC$.

Так как $AC = a$ (является ребром правильного тетраэдра), то $EF = \frac{a}{2}$.

2.Длина отрезка $DE$:

Рассмотрим грань $DAB$. Это равносторонний треугольник со стороной $a$. Точка $E$ – середина ребра $AB$. Следовательно, отрезок $DE$ является медианой в равностороннем треугольнике $DAB$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой.

Длина медианы (и высоты) в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Значит, $DE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3.Длина отрезка $DF$:

Рассмотрим грань $DBC$. Это также равносторонний треугольник со стороной $a$. Точка $F$ – середина ребра $BC$. Следовательно, отрезок $DF$ является медианой в равностороннем треугольнике $DBC$.

Значит, $DF = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим найденные длины сторон в формулу для косинуса угла $EDF$:

$DE^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4}$.

$DF^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4}$.

$EF^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$.

Подставляем значения в формулу для косинуса:

$\cos(\angle EDF) = \frac{\frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4}}{2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}$

Вычислим числитель: $\frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{6a^2 - a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$.

Вычислим знаменатель: $2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{3a^2}{4} = \frac{6a^2}{4}$.

Таким образом:

$\cos(\angle EDF) = \frac{\frac{5a^2}{4}}{\frac{6a^2}{4}}$

$\cos(\angle EDF) = \frac{5a^2}{6a^2}$

$\cos(\angle EDF) = \frac{5}{6}$.

Ответ:

Косинус угла $EDF$ равен $\frac{5}{6}$.

8. В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $AD$. Найдите косинус угла $BEC$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Точка $E$ — середина ребра $AD$.

Для правильного тетраэдра все ребра равны между собой. Пусть длина ребра равна $a$.

Перевод в СИ: Поскольку задача носит геометрический характер и длина ребра $a$ является произвольной величиной, которая сократится в конечном выражении, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Косинус угла $BEC$, то есть $\cos(\angle BEC)$.

Решение:

1. Определим длины сторон треугольника $BEC$.

Сторона $BC$ является ребром правильного тетраэдра, поэтому ее длина равна $a$.

2. Найдем длину стороны $BE$.

Рассмотрим грань $ABD$. Так как тетраэдр правильный, грань $ABD$ является равносторонним треугольником со стороной $a$. Точка $E$ — середина ребра $AD$. Следовательно, отрезок $BE$ является медианой, проведенной к стороне $AD$ в равностороннем треугольнике $ABD$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Длина высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $s$ выражается формулой $h = \frac{s\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, длина стороны $BE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. Найдем длину стороны $CE$.

Аналогично, рассмотрим грань $ACD$. Это также равносторонний треугольник со стороной $a$. Точка $E$ — середина ребра $AD$. Отрезок $CE$ является медианой (и высотой) равностороннего треугольника $ACD$, проведенной к стороне $AD$.

Таким образом, длина стороны $CE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

4. Применим теорему косинусов для треугольника $BEC$.

Мы имеем длины сторон треугольника $BEC$: $BC = a$, $BE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $CE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Треугольник $BEC$ является равнобедренным с основанием $BC$ и боковыми сторонами $BE$ и $CE$.

По теореме косинусов для угла $BEC$ (который лежит напротив стороны $BC$):

$BC^2 = BE^2 + CE^2 - 2 \cdot BE \cdot CE \cdot \cos(\angle BEC)$

Подставим найденные значения:

$a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\angle BEC)$

$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\angle BEC)$

$a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\angle BEC)$

$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\angle BEC)$

Разделим все члены уравнения на $a^2$ (поскольку $a \ne 0$):

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle BEC)$

Выразим $\cos(\angle BEC)$:

$\frac{3}{2} \cdot \cos(\angle BEC) = \frac{3}{2} - 1$

$\frac{3}{2} \cdot \cos(\angle BEC) = \frac{1}{2}$

$\cos(\angle BEC) = \frac{1/2}{3/2}$

$\cos(\angle BEC) = \frac{1}{3}$

Ответ:

Косинус угла $BEC$ равен $1/3$.

9. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Все ребра которой равны 1. Таким образом, $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения не требуются, так как задача оперирует безразмерными отношениями длин.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Решение:

Для того чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CB_1$, необходимо перенести одну из прямых так, чтобы она пересекалась со второй. Прямая $AB$ параллельна прямой $A_1B_1$, так как $ABCA_1B_1C_1$ - призма, и $A_1B_1$ является ребром верхнего основания, а $AB$ - ребром нижнего основания. Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $CB_1$ равен углу между прямыми $A_1B_1$ и $CB_1$. Эти две прямые пересекаются в точке $B_1$. Таким образом, искомый угол - это угол $\angle A_1B_1C$ в треугольнике $A_1B_1C$.

Найдем длины сторон треугольника $A_1B_1C$:

1. Длина ребра $A_1B_1$: Поскольку все ребра призмы равны 1, то $A_1B_1 = 1$.

2. Длина отрезка $B_1C$: Этот отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника $BB_1C$ (так как $BB_1 \perp BC$, поскольку $BB_1$ - боковое ребро правильной призмы, перпендикулярное плоскости основания). По теореме Пифагора: $B_1C^2 = BB_1^2 + BC^2$ $B_1C^2 = 1^2 + 1^2$ $B_1C^2 = 1 + 1$ $B_1C^2 = 2$ $B_1C = \sqrt{2}$

3. Длина отрезка $A_1C$: Этот отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника $AA_1C$ (так как $AA_1 \perp AC$). По теореме Пифагора: $A_1C^2 = AA_1^2 + AC^2$ $A_1C^2 = 1^2 + 1^2$ $A_1C^2 = 1 + 1$ $A_1C^2 = 2$ $A_1C = \sqrt{2}$

Таким образом, стороны треугольника $A_1B_1C$ равны: $A_1B_1 = 1$ $B_1C = \sqrt{2}$ $A_1C = \sqrt{2}$

Для нахождения косинуса угла $\angle A_1B_1C$ в треугольнике $A_1B_1C$ воспользуемся теоремой косинусов: $A_1C^2 = A_1B_1^2 + B_1C^2 - 2 \cdot A_1B_1 \cdot B_1C \cdot \cos(\angle A_1B_1C)$

Подставим известные значения: $(\sqrt{2})^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\angle A_1B_1C)$ $2 = 1 + 2 - 2\sqrt{2} \cos(\angle A_1B_1C)$ $2 = 3 - 2\sqrt{2} \cos(\angle A_1B_1C)$

Выразим косинус угла: $2\sqrt{2} \cos(\angle A_1B_1C) = 3 - 2$ $2\sqrt{2} \cos(\angle A_1B_1C) = 1$ $\cos(\angle A_1B_1C) = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $\cos(\angle A_1B_1C) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Поскольку полученное значение косинуса положительно, искомый угол является острым.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$

10. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ: Длины ребер даны в условных единицах (1), перевод в конкретные единицы СИ (метры) не требуется для нахождения косинуса угла.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим призму в декартовой системе координат.

Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная и все её ребра равны 1, основание $ABC$ является равносторонним треугольником со стороной 1. Расположим вершину $B$ на оси $Ox$: $B=(1,0,0)$.

Для вершины $C$ равностороннего треугольника $ABC$ со стороной 1: Координата $x$ точки $C$ будет половиной длины стороны $AB$, то есть $0.5$. Координата $y$ точки $C$ будет высотой равностороннего треугольника, которая равна $a \frac{\sqrt{3}}{2}$, где $a=1$. То есть $y_C = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $C=(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Поскольку призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основаниям, и их длина равна 1. Тогда координаты верхних вершин будут: $A_1 = (0,0,1)$ $B_1 = (1,0,1)$ $C_1 = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем векторы, соответствующие прямым $AB_1$ и $BC_1$.

Вектор $\vec{AB_1}$: $\vec{AB_1} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$.

Вектор $\vec{BC_1}$: $\vec{BC_1} = C_1 - B = (0.5-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$: $\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = (1)(-0.5) + (0)(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (1)(1) = -0.5 + 0 + 1 = 0.5$.

Вычислим длины (модули) векторов: $|\vec{AB_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$. $|\vec{BC_1}| = \sqrt{(-0.5)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{0.25 + 0.75 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла: $\cos(\alpha) = \frac{0.5}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{0.5}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ:

$0.25$

11. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, точка $E$ — середина ребра $SC$. Найдите тангенс угла между прямыми $SA$ и $BE$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.
Все ребра пирамиды равны 1.
Точка $E$ — середина ребра $SC$.

Перевод в СИ:
Длина ребра $a=1$ (единица измерения не указана, принимаем за безразмерную единицу длины).

Найти:

Тангенс угла между прямыми $SA$ и $BE$.

Решение:

Обозначим длину всех ребер пирамиды за $a=1$. Введем систему координат. Пусть центр основания $O$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Поскольку основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a=1$, координаты его вершин могут быть представлены как: $A = (\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$
$B = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
$C = (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
$D = (-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$

Найдем высоту пирамиды $h$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ (где $O$ - центр основания), $SA^2 = SO^2 + OA^2$. Длина $OA$ — половина диагонали квадрата основания. Диагональ $AC = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{1\cdot\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда, подставляя известные значения: $1^2 = h^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 \Rightarrow 1 = h^2 + \frac{2}{4} \Rightarrow 1 = h^2 + \frac{1}{2} \Rightarrow h^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Координаты вершины $S$: $S = (0,0,h) = (0,0,\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Точка $E$ — середина ребра $SC$. Координаты $E$ находятся как среднее арифметическое координат $S$ и $C$: $E = (\frac{0+(-\frac{1}{2})}{2}, \frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+0}{2}) = (-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$.

Найдем векторы, соответствующие прямым $SA$ и $BE$: Вектор $\vec{SA}$ вычисляется как разность координат точки $A$ и $S$: $\vec{SA} = A - S = (\frac{1}{2}-0, -\frac{1}{2}-0, 0-\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Вектор $\vec{BE}$ вычисляется как разность координат точки $E$ и $B$: $\vec{BE} = E - B = (-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{4}-0) = (-\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$.

Вычислим длины (модули) этих векторов: $|\vec{SA}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1$.
$|\vec{BE}| = \sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{4})^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{1}{16} + \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{BE}$: $\vec{SA} \cdot \vec{BE} = (\frac{1}{2})(-\frac{3}{4}) + (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{4}) + (-\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{4})$
$= -\frac{3}{8} + \frac{1}{8} - \frac{2}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми $SA$ и $BE$ находится по формуле: $\cos \alpha = \frac{|\vec{SA} \cdot \vec{BE}|}{|\vec{SA}| |\vec{BE}|}$. Так как угол между прямыми берется как острый, используется абсолютное значение скалярного произведения. $\cos \alpha = \frac{|-\frac{1}{2}|}{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Теперь найдем тангенс угла $\alpha$. Для этого сначала найдем синус угла $\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Так как $\alpha$ - острый угол, $\sin \alpha > 0$. $\sin \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Наконец, вычислим тангенс угла $\alpha$: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$.

Ответ:

$\sqrt{2}$