Номер 10, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ: Длины ребер даны в условных единицах (1), перевод в конкретные единицы СИ (метры) не требуется для нахождения косинуса угла.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим призму в декартовой системе координат.

Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная и все её ребра равны 1, основание $ABC$ является равносторонним треугольником со стороной 1. Расположим вершину $B$ на оси $Ox$: $B=(1,0,0)$.

Для вершины $C$ равностороннего треугольника $ABC$ со стороной 1: Координата $x$ точки $C$ будет половиной длины стороны $AB$, то есть $0.5$. Координата $y$ точки $C$ будет высотой равностороннего треугольника, которая равна $a \frac{\sqrt{3}}{2}$, где $a=1$. То есть $y_C = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $C=(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Поскольку призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основаниям, и их длина равна 1. Тогда координаты верхних вершин будут: $A_1 = (0,0,1)$ $B_1 = (1,0,1)$ $C_1 = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем векторы, соответствующие прямым $AB_1$ и $BC_1$.

Вектор $\vec{AB_1}$: $\vec{AB_1} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$.

Вектор $\vec{BC_1}$: $\vec{BC_1} = C_1 - B = (0.5-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$: $\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = (1)(-0.5) + (0)(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (1)(1) = -0.5 + 0 + 1 = 0.5$.

Вычислим длины (модули) векторов: $|\vec{AB_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$. $|\vec{BC_1}| = \sqrt{(-0.5)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{0.25 + 0.75 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла: $\cos(\alpha) = \frac{0.5}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{0.5}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ:

$0.25$