Номер 14, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, точки $E, F$ — середины ребер соответственно $SC$ и $SB$. Найдите косинус угла между прямыми $AF$ и $BE$.

Дано:

Пирамида $SABCD$ — правильная четырехугольная. Все ребра равны 1. То есть $AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=1$. Точка $E$ — середина ребра $SC$. Точка $F$ — середина ребра $SB$.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AF$ и $BE$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Расположим пирамиду в декартовой системе координат. Пусть центр основания $O$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Основание $ABCD$ — квадрат со стороной 1. Длина диагонали основания $AC = BD = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Расстояние от центра основания до любой вершины основания равно $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Разместим вершины основания следующим образом: $A=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ $B=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ $C=\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$ $D=\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$ Проверим длину стороны, например $AB$: $AB = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{(-1)^2+0+0} = 1$. Это верно. Вершина $S$ находится на оси $Oz$, так как пирамида правильная, то $S=(0,0,h)$. Длина бокового ребра $SA=1$. Расстояние от $S(0,0,h)$ до $A(1/2,1/2,0)$ равно 1. $SA^2 = \left(\frac{1}{2}-0\right)^2 + \left(\frac{1}{2}-0\right)^2 + (0-h)^2 = 1^2$ $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + h^2 = 1$ $\frac{1}{2} + h^2 = 1$ $h^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ $h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (положительное значение, так как вершина выше основания). Таким образом, координаты вершин: $A = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ $B = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ $C = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$ $S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Найдем координаты точек $E$ и $F$. Точка $E$ — середина ребра $SC$. Координаты $E$ находятся как среднее арифметическое координат $S$ и $C$: $E = \left(\frac{0+\left(-\frac{1}{2}\right)}{2}, \frac{0+\left(-\frac{1}{2}\right)}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+0}{2}\right) = \left(-\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$. Точка $F$ — середина ребра $SB$. Координаты $F$ находятся как среднее арифметическое координат $S$ и $B$: $F = \left(\frac{0+\left(-\frac{1}{2}\right)}{2}, \frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+0}{2}\right) = \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым $AF$ и $BE$. Вектор $\vec{AF}$ имеет координаты $F-A$: $\vec{AF} = \left(-\frac{1}{4} - \frac{1}{2}, \frac{1}{4} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{4} - 0\right) = \left(-\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$. Вектор $\vec{BE}$ имеет координаты $E-B$: $\vec{BE} = \left(-\frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right), -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{4} - 0\right) = \left(\frac{1}{4}, -\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AF}$ и $\vec{BE}$: $\vec{AF} \cdot \vec{BE} = \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(\frac{1}{4}\right) + \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ $= -\frac{3}{16} + \frac{3}{16} + \frac{2}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

Найдем длины (модули) векторов $\vec{AF}$ и $\vec{BE}$: $|\vec{AF}|^2 = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} + \frac{1}{16} + \frac{2}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$. $|\vec{AF}| = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $|\vec{BE}|^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} + \frac{9}{16} + \frac{2}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$. $|\vec{BE}| = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{AF}$ и $\vec{BE}$ вычисляется по формуле: $\cos \theta = \frac{\vec{AF} \cdot \vec{BE}}{|\vec{AF}| |\vec{BE}|}$. $\cos \theta = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.

Ответ:

Косинус угла между прямыми $AF$ и $BE$ равен $\frac{1}{6}$.