Номер 18, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $CE_1$.

Дано

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой. Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB$ и $CE_1$.

Решение

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начало координат $(0,0,0)$. Поскольку призма правильная, и все её рёбра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$. Координаты вершин нижнего основания (приняв A на оси X):

$A = (1, 0, 0)$
$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания получаются добавлением 1 к z-координате:

$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$
$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем векторы, задающие направления прямых $AB$ и $CE_1$.

Вектор $\vec{AB}$:
$\vec{AB} = B - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Вектор $\vec{CE_1}$:
$\vec{CE_1} = E_1 - C = (-1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой:
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CE_1}$:
$\vec{AB} \cdot \vec{CE_1} = (-1/2)(0) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}) + (0)(1) = 0 - 3/2 + 0 = -3/2$

Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{1} = 1$
$|\vec{CE_1}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

Теперь найдем косинус угла между этими векторами:
$\cos \theta = \frac{-3/2}{1 \cdot 2} = -3/4$

Угол между прямыми по определению является острым или прямым углом, поэтому косинус угла между прямыми берется по модулю:
$\cos \alpha = |\cos \theta| = |-3/4| = 3/4$

Ответ:

$3/4$