Номер 24, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Единицы измерения не указаны, поэтому будем использовать данные значения как безразмерные величины в соответствующей системе координат.

Найти:

Косинус угла между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

Решение:

Для нахождения косинуса угла между двумя прямыми воспользуемся векторным методом. Введем прямоугольную систему координат.

Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ лежит в начале координат $O(0,0,0)$.

Так как призма правильная и все её ребра равны 1, то сторона правильного шестиугольника в основании $a = 1$, и высота призмы $h = 1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$, центром в начале координат:

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

• $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания получаются добавлением 1 к z-координате:

• $A_1 = (1, 0, 1)$

• $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

• $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

• $D_1 = (-1, 0, 1)$

Найдем векторы, соответствующие прямым $BA_1$ и $DB_1$:

Вектор $\vec{BA_1}$:

$ \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1) $

Вектор $\vec{DB_1}$:

$ \vec{DB_1} = B_1 - D = (1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 1) $

Теперь вычислим скалярное произведение этих векторов:

$ \vec{BA_1} \cdot \vec{DB_1} = (1/2) \cdot (3/2) + (-\sqrt{3}/2) \cdot (\sqrt{3}/2) + (1) \cdot (1) $

$ = 3/4 - 3/4 + 1 = 1 $

Вычислим длины (модули) этих векторов:

$ |\vec{BA_1}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $

$ |\vec{DB_1}| = \sqrt{(3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{12/4 + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 $

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{BA_1}$ и $\vec{DB_1}$ определяется по формуле:

$ \cos \theta = \frac{\vec{BA_1} \cdot \vec{DB_1}}{|\vec{BA_1}| |\vec{DB_1}|} $

Подставим найденные значения:

$ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$ \cos \theta = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{4} $