Номер 31, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми $SA$ и $BD$.

Дано:
Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания $a = AB = 1$.
Боковое ребро $l = SA = 2$.

Найти:
$\cos(\angle(SA, BD))$.

Решение
Для нахождения косинуса угла между двумя скрещивающимися прямыми $SA$ и $BD$, воспользуемся методом векторов. Разместим пирамиду в декартовой системе координат.

Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Основание лежит в плоскости $xy$.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, расстояние от центра $O$ до любой вершины основания равно $a=1$.

Найдем высоту пирамиды $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $O$ - центр основания, $S$ - вершина пирамиды, $A$ - вершина основания. $SO = h$, $OA = a = 1$, $SA = l = 2$. По теореме Пифагора: $h^2 + OA^2 = SA^2 \Rightarrow h^2 + 1^2 = 2^2 \Rightarrow h^2 + 1 = 4 \Rightarrow h^2 = 3 \Rightarrow h = \sqrt{3}$.

Координаты вершин: Вершина $S$ находится над центром основания: $S = (0, 0, \sqrt{3})$. Расположим вершину $A$ на оси $x$: $A = (1, 0, 0)$. Координаты вершин $B$ и $D$ для правильного шестиугольника со стороной $a=1$: $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$.

Найдем векторы $\vec{SA}$ и $\vec{BD}$: Вектор $\vec{SA} = A - S = (1 - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$. Вектор $\vec{BD} = D - B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{BD}$: $\vec{SA} \cdot \vec{BD} = (1) \cdot (-3/2) + (0) \cdot (-\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3}) \cdot (0) = -3/2 + 0 + 0 = -3/2$.

Вычислим длины (модули) векторов: $|\vec{SA}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 0 + 3} = \sqrt{4} = 2$. (Длина бокового ребра $SA$ равна 2, что совпадает с условием). $|\vec{BD}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$. (Длина короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$, что для $a=1$ дает $\sqrt{3}$).

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BD}$ определяется формулой: $\cos \theta = \frac{\vec{SA} \cdot \vec{BD}}{|\vec{SA}| |\vec{BD}|}$. $\cos \theta = \frac{-3/2}{(2)(\sqrt{3})} = \frac{-3}{4\sqrt{3}}$. Рационализируем знаменатель: $\cos \theta = \frac{-3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{-3\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{-3\sqrt{3}}{12} = \frac{-\sqrt{3}}{4}$.

Угол между прямыми обычно определяется как острый угол, поэтому берется абсолютное значение косинуса: $\cos \alpha = |\cos \theta| = \left|-\frac{\sqrt{3}}{4}\right| = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Ответ:
$\frac{\sqrt{3}}{4}$