Номер 32, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

32. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми $SA$ и $BE$.

Дано

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

Найти:

Косинус угла между прямыми $SA$ и $BE$.

Решение

Для определения косинуса угла между прямыми $SA$ и $BE$ воспользуемся методом координат. Разместим центр основания пирамиды, точку $O$, в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ будет лежать на оси $z$.

Длина стороны основания правильного шестиугольника $a = 1$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны, то есть $OA = 1$.

Найдем высоту пирамиды $h$. Треугольник $SOA$ является прямоугольным (угол $SOA = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$h^2 + a^2 = l^2$

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 + 1 = 4$

$h^2 = 3 \Rightarrow h = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S$ будут $S(0,0,\sqrt{3})$.

Координаты вершин основания правильного шестиугольника (при $a=1$ и $O(0,0,0)$):

$A(1,0,0)$

$B(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$E(\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Найдем векторы $\vec{SA}$ и $\vec{BE}$.

Вектор $\vec{SA}$:

$\vec{SA} = A - S = (1-0, 0-0, 0-\sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$

Модуль вектора $\vec{SA}$:

$|\vec{SA}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 0 + 3} = \sqrt{4} = 2$

Вектор $\vec{BE}$:

$\vec{BE} = E - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0-0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$

Модуль вектора $\vec{BE}$:

$|\vec{BE}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 3 + 0} = \sqrt{4} = 2$

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{BE}$:

$\vec{SA} \cdot \vec{BE} = (1)(-1) + (0)(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(0) = -1 + 0 + 0 = -1$

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos \theta = \frac{-1}{2 \times 2} = \frac{-1}{4}$

Ответ: $\cos \theta = -\frac{1}{4}$