Номер 30, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

и $DE_1$,

30. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми $SA$ и $DE$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$.

Длина бокового ребра $l = 2$.

Перевод в СИ:

Длины даны в относительных единицах, перевод не требуется.

Найти:

Косинус угла между прямыми $SA$ и $DE$.

Решение:

1. Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр основания правильной шестиугольной пирамиды $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим по высоте пирамиды.

2. Найдем координаты вершин основания. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Пусть сторона основания $a=1$. Тогда расстояние от центра до любой вершины также равно 1. Разместим вершину $A$ на положительной части оси $Ox$.

Координаты вершин основания:

$A = (1, 0, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$ (Вершина $D$ находится напротив $A$ в правильном шестиугольнике)

$E = (a \cdot \cos(240^\circ), a \cdot \sin(240^\circ), 0) = (1 \cdot (-1/2), 1 \cdot (-\sqrt{3}/2), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

3. Найдем координаты вершины $S$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ лежит на оси $Oz$. Пусть $S = (0, 0, h)$.

Длина бокового ребра $SA = 2$. Расстояние от $S$ до $A$ равно 2.

Используя формулу расстояния между точками $S(0,0,h)$ и $A(1,0,0)$:

$SA^2 = (1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-h)^2 = 1^2 + 0^2 + (-h)^2 = 1 + h^2$

По условию $SA = 2$, значит $SA^2 = 4$.

$1 + h^2 = 4$

$h^2 = 3$

$h = \sqrt{3}$ (высота пирамиды)

Таким образом, координаты вершины $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

4. Найдем векторы $\vec{SA}$ и $\vec{DE}$.

Вектор $\vec{SA}$: $A - S = (1 - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$

Вектор $\vec{DE}$: $E - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

5. Найдем длины (модули) этих векторов.

$||\vec{SA}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 0 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$||\vec{DE}|| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{4/4} = \sqrt{1} = 1$

6. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{DE}$.

$\vec{SA} \cdot \vec{DE} = (1)(1/2) + (0)(-\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3})(0) = 1/2 + 0 + 0 = 1/2$

7. Косинус угла $\theta$ между прямыми $SA$ и $DE$ можно найти по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{SA} \cdot \vec{DE}|}{||\vec{SA}|| \cdot ||\vec{DE}||}$

$\cos \theta = \frac{|1/2|}{2 \cdot 1} = \frac{1/2}{2} = 1/4$

Ответ: $1/4$