Номер 2, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите косинус угла между прямой $DB_1$ и плоскостью $ADD_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Косинус угла между прямой $DB_1$ и плоскостью $ADD_1$.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$. Пусть ребро $DA$ лежит на оси $Ox$, ребро $DC$ на оси $Oy$, а ребро $DD_1$ на оси $Oz$.

Тогда координаты вершин будут: $D = (0,0,0)$ $A = (a,0,0)$ $D_1 = (0,0,a)$ $A_1 = (a,0,a)$ (так как $A_1$ получается из $A$ сдвигом по $z$ на $a$) $B_1 = (a,a,a)$ (так как $B_1$ получается из $D$ сдвигом на $a$ по $x$, $a$ по $y$, $a$ по $z$)

Прямая, для которой нужно найти угол, это $DB_1$. Вектор этой прямой: $\vec{DB_1} = B_1 - D = (a-0, a-0, a-0) = (a,a,a)$.

Плоскость, для которой нужно найти угол, это $ADD_1$. Эта плоскость содержит ось $Ox$ (прямая $DA$) и ось $Oz$ (прямая $DD_1$). Таким образом, плоскость $ADD_1$ совпадает с плоскостью $xz$ в нашей системе координат, уравнение которой $y=0$.

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Найдем проекцию прямой $DB_1$ на плоскость $ADD_1$.

Точка $D(0,0,0)$ лежит в плоскости $ADD_1$, поэтому ее проекция на плоскость $ADD_1$ совпадает с самой точкой $D$.

Для того чтобы найти проекцию точки $B_1(a,a,a)$ на плоскость $ADD_1$ (то есть на плоскость $y=0$), необходимо обнулить $y$-координату точки $B_1$. Проекция точки $B_1$ будет $B_1'(a,0,a)$.

Заметим, что точка $(a,0,a)$ в нашей системе координат — это точка $A_1$.

Следовательно, проекция прямой $DB_1$ на плоскость $ADD_1$ — это прямая $DA_1$.

Искомый угол — это угол между прямой $DB_1$ и прямой $DA_1$, то есть угол $\angle B_1DA_1$.

Для нахождения косинуса угла между векторами $\vec{DB_1}$ и $\vec{DA_1}$ воспользуемся формулой скалярного произведения: $\cos\theta = \frac{\vec{DB_1} \cdot \vec{DA_1}}{|\vec{DB_1}| \cdot |\vec{DA_1}|}$

Вектор $\vec{DA_1} = A_1 - D = (a-0, 0-0, a-0) = (a,0,a)$.

Длины векторов: $|\vec{DB_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. $|\vec{DA_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Скалярное произведение векторов: $\vec{DB_1} \cdot \vec{DA_1} = (a)(a) + (a)(0) + (a)(a) = a^2 + 0 + a^2 = 2a^2$.

Теперь вычислим косинус угла: $\cos\theta = \frac{2a^2}{a\sqrt{3} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{2a^2}{a^2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$

Уберем иррациональность из знаменателя: $\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{6}}{3}$