Номер 9, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите синус угла между прямой $AC$ и плоскостью $AB_1D_1$.

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Синус угла между прямой $AC$ и плоскостью $AB_1D_1$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда координаты вершин будут следующими: $A(0,0,0)$, $C(a,a,0)$, $B_1(a,0,a)$, $D_1(0,a,a)$.

1. Найдем направляющий вектор прямой $AC$. Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты: $\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (a - 0, a - 0, 0 - 0) = (a, a, 0)$. Длина вектора $\vec{AC}$ (модуль) равна: $||\vec{AC}|| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Найдем нормальный вектор к плоскости $AB_1D_1$. Для этого возьмем два вектора, лежащих в этой плоскости, исходящие из одной точки, например из точки $A$: $\vec{AB_1} = (x_{B_1} - x_A, y_{B_1} - y_A, z_{B_1} - z_A) = (a - 0, 0 - 0, a - 0) = (a, 0, a)$. $\vec{AD_1} = (x_{D_1} - x_A, y_{D_1} - y_A, z_{D_1} - z_A) = (0 - 0, a - 0, a - 0) = (0, a, a)$. Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $AB_1D_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB_1} \times \vec{AD_1}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & a \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - a \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - a \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot 0) = -a^2\mathbf{i} - a^2\mathbf{j} + a^2\mathbf{k}$. Таким образом, нормальный вектор $\vec{n} = (-a^2, -a^2, a^2)$. Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный ему вектор $\vec{n'} = (1, 1, -1)$ (поделив все координаты на $-a^2$). Длина вектора $\vec{n'}$ равна: $||\vec{n'}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

3. Найдем синус угла $\phi$ между прямой $AC$ и плоскостью $AB_1D_1$. Синус угла между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{v}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n}$, вычисляется по формуле: $\sin\phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$. Используем $\vec{v} = \vec{AC} = (a, a, 0)$ и $\vec{n'} = (1, 1, -1)$. Скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{n'}$: $\vec{AC} \cdot \vec{n'} = (a)(1) + (a)(1) + (0)(-1) = a + a + 0 = 2a$. Подставим значения в формулу: $\sin\phi = \frac{|2a|}{(a\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3})} = \frac{2a}{a\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$. Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе: $\sin\phi = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{6}}{3}$