Номер 8, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите синус угла между прямой $CD$ и плоскостью $AB_1 D_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Синус угла между прямой $CD$ и плоскостью $AB_1D_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Пусть длина ребра куба равна $a$. Разместим куб в декартовой системе координат таким образом, что вершина $A$ находится в начале координат, а оси координат направлены вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно.

Координаты вершин будут следующими: $A = (0,0,0)$, $B = (a,0,0)$, $C = (a,a,0)$, $D = (0,a,0)$, $A_1 = (0,0,a)$, $B_1 = (a,0,a)$, $D_1 = (0,a,a)$.

1. Найдем направляющий вектор прямой $CD$.

Вектор $\vec{DC}$ можно найти как разность координат точки $C$ и точки $D$:

$\vec{DC} = C - D = (a,a,0) - (0,a,0) = (a,0,0)$

В качестве направляющего вектора прямой $CD$ возьмем $\vec{u} = (1,0,0)$, так как он сонаправлен с $\vec{DC}$ и имеет более простые координаты.

2. Найдем нормальный вектор плоскости $AB_1D_1$.

Плоскость $AB_1D_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$, $B_1(a,0,a)$ и $D_1(0,a,a)$.

Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости, исходящие из общей точки, например из $A$:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (a,0,a)$

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0,a,a)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен этим двум векторам и может быть найден как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AD_1} = \det \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & a \\ 0 & a & a \end{pmatrix}$

$\vec{n} = \vec{i}(0 \cdot a - a \cdot a) - \vec{j}(a \cdot a - a \cdot 0) + \vec{k}(a \cdot a - 0 \cdot 0)$

$\vec{n} = -a^2\vec{i} - a^2\vec{j} + a^2\vec{k}$

Таким образом, нормальный вектор $\vec{n} = (-a^2, -a^2, a^2)$. Для упрощения вычислений мы можем использовать любой вектор, сонаправленный с $\vec{n}$, например, разделив его на $-a^2$: $\vec{n} = (-1,-1,1)$.

3. Вычислим синус угла между прямой и плоскостью.

Синус угла $\alpha$ между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{u}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n}$, определяется формулой:

$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{n}$:

$\vec{u} \cdot \vec{n} = (1)(-1) + (0)(-1) + (0)(1) = -1 + 0 + 0 = -1$

Вычислим длины векторов $||\vec{u}||$ и $||\vec{n}||$:

$||\vec{u}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$

$||\vec{n}|| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

Теперь подставим значения в формулу для $\sin(\alpha)$:

$\sin(\alpha) = \frac{|-1|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Рационализируем знаменатель:

$\sin(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$