Номер 11, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В кубе $ABCD A_1B_1C_1D_1$ найдите синус угла между прямой $CB_1$ и плоскостью $AB_1D_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Прямая $CB_1$.

Плоскость $AB_1D_1$.

Найти:

Синус угла между прямой $CB_1$ и плоскостью $AB_1D_1$.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть ребро куба равно $a$. Разместим куб так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а его ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежали на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

Координаты вершин куба:

$A = (0,0,0)$

$B = (a,0,0)$

$C = (a,a,0)$

$D = (0,a,0)$

$A_1 = (0,0,a)$

$B_1 = (a,0,a)$

$C_1 = (a,a,a)$

$D_1 = (0,a,a)$

1. Определим направляющий вектор прямой $CB_1$.

Направляющий вектор $\vec{l}$ прямой $CB_1$ можно найти как вектор, соединяющий точки $C$ и $B_1$:

$\vec{l} = \vec{CB_1} = B_1 - C = (a-a, 0-a, a-0) = (0, -a, a)$.

Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор $\vec{l'} = (0, -1, 1)$ (разделив все компоненты на $a$). Модуль вектора $\vec{l}$: $|\vec{l}| = \sqrt{0^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{0 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Найдем нормальный вектор плоскости $AB_1D_1$.

Плоскость $AB_1D_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$, $B_1(a,0,a)$, $D_1(0,a,a)$.

Построим два вектора, лежащих в этой плоскости, исходящих из одной точки $A$:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (a-0, 0-0, a-0) = (a,0,a)$.

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, a-0, a-0) = (0,a,a)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости. Его можно найти как векторное произведение $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$:

$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & a \\ 0 & a & a \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \vec{i}(0 \cdot a - a \cdot a) - \vec{j}(a \cdot a - a \cdot 0) + \vec{k}(a \cdot a - 0 \cdot 0)$

$\vec{n} = \vec{i}(-a^2) - \vec{j}(a^2) + \vec{k}(a^2) = (-a^2, -a^2, a^2)$.

Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор $\vec{n'} = (1,1,-1)$ (разделив все компоненты на $-a^2$). Модуль нормального вектора $|\vec{n}| = \sqrt{(-a^2)^2 + (-a^2)^2 + (a^2)^2} = \sqrt{a^4 + a^4 + a^4} = \sqrt{3a^4} = a^2\sqrt{3}$.

3. Вычислим синус угла $\phi$ между прямой $CB_1$ и плоскостью $AB_1D_1$.

Синус угла $\phi$ между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{l}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n}$, вычисляется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| \cdot |\vec{n}|}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:

$\vec{l} = (0, -a, a)$

$\vec{n} = (-a^2, -a^2, a^2)$

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (0)(-a^2) + (-a)(-a^2) + (a)(a^2) = 0 + a^3 + a^3 = 2a^3$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для синуса угла:

$\sin \phi = \frac{|2a^3|}{(a\sqrt{2})(a^2\sqrt{3})} = \frac{2a^3}{a^3\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$\sin \phi = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{6}}{3}$