Номер 17, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите синус угла между прямой $B_1D_1$ и плоскостью $ACB_1$.

18. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите синус угла между прямой $CA_1$ и

Дано:

• Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$
• Длина стороны куба: $a$

Перевод в систему СИ:

• Длина стороны куба $a$ (без конкретных единиц, поскольку задача о соотношении длин, а не об абсолютных размерах)

Найти:

• Синус угла между прямой $B_1D_1$ и плоскостью $ACB_1$.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть начало координат совпадает с точкой $A(0,0,0)$.

Тогда координаты вершин куба со стороной $a$ будут:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (a,0,0)$
• $C = (a,a,0)$
• $D = (0,a,0)$
• $A_1 = (0,0,a)$
• $B_1 = (a,0,a)$
• $C_1 = (a,a,a)$
• $D_1 = (0,a,a)$

1. Найдем направляющий вектор прямой $B_1D_1$.

Вектор $\vec{B_1D_1}$ можно найти, вычитая координаты точки $B_1$ из координат точки $D_1$:

$\vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (0-a, a-0, a-a) = (-a, a, 0)$.

Для удобства дальнейших вычислений можно использовать пропорциональный вектор $\vec{l} = (-1, 1, 0)$, разделив все компоненты на $a$ (поскольку $a \neq 0$).

2. Найдем нормальный вектор плоскости $ACB_1$.

Плоскость $ACB_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$, $C(a,a,0)$ и $B_1(a,0,a)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{AC} = C - A = (a-0, a-0, 0-0) = (a,a,0)$.

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (a-0, 0-0, a-0) = (a,0,a)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $ACB_1$ можно найти как векторное произведение этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ a & 0 & a \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot 0 - a \cdot a)$

$\vec{n} = (a^2) \mathbf{i} - (a^2) \mathbf{j} + (-a^2) \mathbf{k} = (a^2, -a^2, -a^2)$.

Для удобства можно взять пропорциональный нормальный вектор $\vec{n} = (1, -1, -1)$, разделив все компоненты на $a^2$ (поскольку $a^2 \neq 0$).

3. Найдем синус угла $\phi$ между прямой $B_1D_1$ и плоскостью $ACB_1$.

Синус угла $\phi$ между прямой с направляющим вектором $\vec{l}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ определяется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Используем выбранные векторы: $\vec{l} = (-1, 1, 0)$ и $\vec{n} = (1, -1, -1)$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (-1)(1) + (1)(-1) + (0)(-1) = -1 - 1 + 0 = -2$.

Вычислим длины (модули) векторов:

$||\vec{l}|| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (0)^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.

$||\vec{n}|| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим вычисленные значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.

Для упрощения выражения рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$\sin \phi = \frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$