Номер 18, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите синус угла между прямой $CA_1$ и плоскостью $ACB_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Прямая $CA_1$.

Плоскость $ACB_1$.

Перевод данных в систему СИ:

Пусть длина ребра куба равна $a$ (безразмерная величина, так как в задаче не указаны единицы измерения).

Найти:

Синус угла между прямой $CA_1$ и плоскостью $ACB_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат с началом в точке $C(0,0,0)$. Оси координат направим вдоль ребер $CD$, $CB$ и $CC_1$. Тогда координаты вершин куба будут:

$C = (0,0,0)$

$D = (a,0,0)$

$B = (0,a,0)$

$C_1 = (0,0,a)$

$A = (a,a,0)$ (поскольку $C(0,0,0)$, $D(a,0,0)$, $B(0,a,0)$, то $A$ будет иметь координаты $D+B-C = (a,a,0)$)

$A_1 = (a,a,a)$ (находится над $A$ на высоте $a$)

$B_1 = (0,a,a)$ (находится над $B$ на высоте $a$)

$D_1 = (a,0,a)$ (находится над $D$ на высоте $a$)

1. Найдем вектор направления прямой $CA_1$.

Вектор $\vec{CA_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точки: $A_1 - C = (a-0, a-0, a-0) = (a,a,a)$.

Длина вектора $|\vec{CA_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

2. Найдем нормальный вектор плоскости $ACB_1$.

Для определения плоскости $ACB_1$ возьмем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{CA}$ и $\vec{CB_1}$.

Вектор $\vec{CA} = A - C = (a-0, a-0, 0-0) = (a,a,0)$.

Вектор $\vec{CB_1} = B_1 - C = (0-0, a-0, a-0) = (0,a,a)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $ACB_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{CA} \times \vec{CB_1}$.

$\vec{n} = \vec{CA} \times \vec{CB_1} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ 0 & a & a \end{pmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot a - a \cdot 0)$

$\vec{n} = (a^2, -a^2, a^2)$.

Для упрощения вычислений можем использовать нормальный вектор, пропорциональный $\vec{n}$, разделив все координаты на $a^2$ (поскольку $a \neq 0$): $\vec{n'} = (1, -1, 1)$.

Длина нормального вектора $|\vec{n'}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

3. Найдем синус угла между прямой и плоскостью.

Угол $\phi$ между прямой $CA_1$ и плоскостью $ACB_1$ связан с углом $\alpha$ между вектором направления прямой $\vec{CA_1}$ и нормальным вектором плоскости $\vec{n'}$ соотношением $\sin(\phi) = |\cos(\alpha')|$, где $\alpha'$ - угол между вектором направления линии и нормальным вектором плоскости. Точнее, $\phi = \frac{\pi}{2} - \alpha'$, если $\alpha'$ - острый угол между вектором и нормалью, или $\phi = \alpha' - \frac{\pi}{2}$ если $\alpha'$ - тупой. В общем случае, $\sin(\phi) = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| |\vec{n}|}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{CA_1} \cdot \vec{n'}$:

$\vec{CA_1} \cdot \vec{n'} = (a)(1) + (a)(-1) + (a)(1) = a - a + a = a$.

Теперь подставим значения в формулу для $\sin(\phi)$:

$\sin(\phi) = \frac{|\vec{CA_1} \cdot \vec{n'}|}{|\vec{CA_1}| |\vec{n'}|} = \frac{|a|}{(a\sqrt{3})(\sqrt{3})}$

Так как $a$ - длина ребра, то $a > 0$, следовательно $|a|=a$.

$\sin(\phi) = \frac{a}{a \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})} = \frac{a}{a \cdot 3} = \frac{1}{3}$.

Ответ:

$\frac{1}{3}$