Номер 25, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой $AA_1$ и плоскостью $AB_1C_1$.

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$ (единица длины).

Поскольку длина ребер дана как безразмерная величина (просто число 1), перевод в систему СИ не требуется, так как это геометрическая задача на соотношения длин.

Найти:

Тангенс угла между прямой $AA_1$ и плоскостью $AB_1C_1$.

Решение

Обозначим искомый угол как $\phi$. Угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость. Прямая $AA_1$ пересекает плоскость $AB_1C_1$ в точке $A$.

Для решения задачи удобно использовать метод координат. Разместим призму в декартовой системе координат:

Точка $A$ находится в начале координат: $A(0,0,0)$.

Поскольку ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ и имеет длину 1, точка $A_1$ будет иметь координаты $A_1(0,0,1)$.

Основание $ABC$ – равносторонний треугольник со стороной 1. Разместим вершину $B$ на оси $x$, тогда $B(1,0,0)$.

Координаты вершины $C$ в плоскости $z=0$ (с учетом того, что треугольник $ABC$ равносторонний) будут $C(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Соответствующие вершины верхнего основания $A_1B_1C_1$ будут иметь $z$-координату 1: $B_1(1,0,1)$ и $C_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Теперь найдем угол $\phi$ между прямой $AA_1$ и плоскостью $AB_1C_1$ с помощью формулы для угла между прямой и плоскостью через их направляющий вектор и вектор нормали.

Направляющий вектор прямой $AA_1$: $\vec{l} = \vec{AA_1} = (0-0, 0-0, 1-0) = (0,0,1)$.

Длина направляющего вектора: $||\vec{l}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.

Для нахождения вектора нормали к плоскости $AB_1C_1$ используем две точки в этой плоскости, помимо $A$. Например, $B_1(1,0,1)$ и $C_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Векторы, лежащие в плоскости $AB_1C_1$ и исходящие из $A$: $\vec{AB_1} = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$ и $\vec{AC_1} = (\frac{1}{2}-0, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $AB_1C_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB_1} \times \vec{AC_1}$:

$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2})$

$\vec{n} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для удобства вычислений можно взять коллинеарный вектор нормали, умножив $\vec{n}$ на $-2$: $\vec{n'} = (\sqrt{3}, 1, -\sqrt{3})$.

Длина вектора нормали $||\vec{n'}|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 3} = \sqrt{7}$.

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью связан с направляющим вектором прямой $\vec{l}$ и вектором нормали плоскости $\vec{n'}$ формулой:

$\sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n'}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n'}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n'}$:

$\vec{l} \cdot \vec{n'} = (0)(\sqrt{3}) + (0)(1) + (1)(-\sqrt{3}) = -\sqrt{3}$.

Тогда $|\vec{l} \cdot \vec{n'}| = |-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$.

Подставим значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{\sqrt{3}}{1 \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.

Теперь найдем $\tan \phi$. Мы знаем, что $\tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi}$.

Для нахождения $\cos \phi$ используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1$:

$\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right)^2 = 1 - \frac{3}{7} = \frac{7-3}{7} = \frac{4}{7}$.

Так как угол между прямой и плоскостью по определению является острым (от $0^\circ$ до $90^\circ$), то $\cos \phi$ будет положительным:

$\cos \phi = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$.

И, наконец, вычислим $\tan \phi$:

$\tan \phi = \frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}{\frac{2}{\sqrt{7}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$