Номер 28, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

28. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, точка $E$ — середина ребра $SB$. Найдите синус угла между прямой $AE$ и плоскостью $SBD$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра равны 1.

Точка $E$ — середина ребра $SB$.

Перевод в систему СИ: (Данные уже представлены в безразмерных величинах, единица измерения не указана. Оставляем как есть.)

$AB = BC = CD = DA = 1$

$SA = SB = SC = SD = 1$

$SE = EB = \frac{1}{2} SB = \frac{1}{2}

Найти:

Синус угла между прямой $AE$ и плоскостью $SBD$.

Решение:

Обозначим искомый угол как $\alpha$. По определению, синус угла между прямой и плоскостью равен отношению расстояния от любой точки прямой до плоскости к длине отрезка прямой от этой точки до точки ее пересечения с плоскостью.

1. Найдем длину отрезка $AE$.

Поскольку все ребра пирамиды равны 1, треугольник $SAB$ является равносторонним со стороной 1. Точка $E$ — середина ребра $SB$. Следовательно, отрезок $AE$ является медианой в равностороннем треугольнике $SAB$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Длина высоты (и медианы) равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, $AE = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем расстояние от точки $A$ до плоскости $SBD$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей основания $ABCD$. Так как пирамида правильная, $ABCD$ — квадрат. Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу, поэтому $AC \perp BD$.

Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, а значит, $SO$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе $SO \perp AC$.

Плоскость $SBD$ содержит прямые $BD$ и $SO$. Так как прямая $AC$ перпендикулярна $BD$ и $AC$ перпендикулярна $SO$, то прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $SBD$ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

Точка $O$ лежит как на прямой $AC$, так и в плоскости $SBD$. Следовательно, ортогональной проекцией точки $A$ на плоскость $SBD$ является точка $O$. Расстояние от точки $A$ до плоскости $SBD$ равно длине отрезка $AO$.

Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. В нашем случае сторона квадрата $ABCD$ равна 1, поэтому $AC = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Точка $O$ является серединой диагонали $AC$, поэтому $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Вычислим синус угла $\alpha$.

Прямая $AE$ пересекает плоскость $SBD$ в точке $E$, так как $E$ является точкой на ребре $SB$, которое лежит в плоскости $SBD$. Угол между прямой $AE$ и плоскостью $SBD$ — это угол $\angle AEO$, где $O$ — проекция точки $A$ на плоскость $SBD$.

В прямоугольном треугольнике $AEO$ (прямой угол при $O$), синус угла $\angle AEO$ равен отношению противолежащего катета $AO$ к гипотенузе $AE$.

$\sin \alpha = \frac{AO}{AE} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$