Номер 32, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, $SE$ — высота. Найдите синус угла между прямой $SE$ и плоскостью $SBC$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длина всех ребер $a = 1$.

$SE$ — высота пирамиды.

Найти:

Синус угла между прямой $SE$ и плоскостью $SBC$.

Решение:

1. Поскольку пирамида $SABCD$ правильная и четырехугольная, ее основанием является квадрат $ABCD$. Высота $SE$ опускается в центр основания $E$. Так как все ребра пирамиды равны 1, то стороны квадрата $AB=BC=CD=DA=1$, и боковые ребра $SA=SB=SC=SD=1$.

2. В квадрате $ABCD$ со стороной $a=1$, диагональ $AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Точка $E$ является серединой диагонали $AC$, поэтому $AE = AC/2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAE$ (так как $SE \perp$ плоскости основания, то $SE \perp AE$). По теореме Пифагора: $SE^2 = SA^2 - AE^2$.

$SE^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Отсюда, $SE = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Для нахождения синуса угла между прямой $SE$ и плоскостью $SBC$ необходимо найти расстояние от точки $E$ до плоскости $SBC$. Пусть $EH$ — перпендикуляр из точки $E$ на плоскость $SBC$. Тогда искомый угол — это угол между прямой $SE$ и ее проекцией $SH$ на плоскость $SBC$, то есть $\angle ESH$. В прямоугольном треугольнике $SHE$ (с прямым углом при вершине $H$, так как $EH \perp SH$) $\sin(\angle ESH) = \frac{EH}{SE}$.

5. Рассмотрим грань $SBC$. Это равносторонний треугольник со стороной 1. Пусть $K$ — середина ребра $BC$. Тогда $SK$ — апофема грани $SBC$, и $SK \perp BC$. Длина $SK = \sqrt{SB^2 - BK^2} = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. В основании $ABCD$, $E$ — центр, $K$ — середина $BC$. Значит, $EK \perp BC$, и $EK$ параллельна $AB$ и $CD$. Длина $EK = AB/2 = 1/2$.

7. Рассмотрим плоскость $SEK$. Прямая $BC$ перпендикулярна $EK$ и $SE$ (так как $SE$ — высота пирамиды, она перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, включая $EK$). Следовательно, $BC$ перпендикулярна плоскости $SEK$. Любая прямая в плоскости $SEK$, проведенная из $E$, будет перпендикулярна $BC$.

8. Построим перпендикуляр $EH$ из точки $E$ к прямой $SK$ в плоскости $SEK$. Так как $EH \perp SK$ (по построению) и $EH \perp BC$ (поскольку $EH$ лежит в плоскости $SEK$, которая перпендикулярна $BC$), то $EH$ перпендикулярна плоскости $SBC$ (так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SK$ и $BC$ в этой плоскости). Таким образом, $EH$ — искомое расстояние от $E$ до плоскости $SBC$.

9. Треугольник $SEK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$. (Катет $SE = \frac{\sqrt{2}}{2}$, катет $EK = \frac{1}{2}$, гипотенуза $SK = \frac{\sqrt{3}}{2}$).

Площадь треугольника $SEK$ может быть выражена двумя способами: $S_{\triangle SEK} = \frac{1}{2} \cdot SE \cdot EK$ или $S_{\triangle SEK} = \frac{1}{2} \cdot SK \cdot EH$.

Приравнивая выражения для площади, получаем: $EH = \frac{SE \cdot EK}{SK}$.

$EH = \frac{(\sqrt{2}/2) \cdot (1/2)}{\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{2}/4}{\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$.

10. Теперь найдем синус угла $\angle ESH$:

$\sin(\angle ESH) = \frac{EH}{SE} = \frac{\sqrt{6}/6}{\sqrt{2}/2} = \frac{\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$