Номер 37, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

37. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите синус угла между прямой $SF$ и плоскостью $SBC$.

Дано

Пирамида $SABCDEF$ — правильная шестиугольная.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

Найти

Синус угла между прямой $SF$ и плоскостью $SBC$.

Решение

1. Установим систему координат. Пусть центр основания правильной шестиугольной пирамиды $O$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ находится на оси $z$. Высоту пирамиды обозначим $h$. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, расстояние от центра до любой вершины основания равно $a=1$. Выберем координаты вершин основания. Пусть вершина $A$ лежит на оси $x$. Тогда $A = (1, 0, 0)$, $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D = (-1, 0, 0)$, $E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Координаты вершины $S = (0, 0, h)$. Длина бокового ребра $SF$ равна 2. Используем формулу расстояния между точками $S(0,0,h)$ и $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$: $SF^2 = (1/2 - 0)^2 + (-\sqrt{3}/2 - 0)^2 + (0 - h)^2$. $2^2 = (1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + (-h)^2$. $4 = 1/4 + 3/4 + h^2$. $4 = 1 + h^2$. $h^2 = 3 \Rightarrow h = \sqrt{3}$. Таким образом, координаты вершины $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

2. Найдем направляющий вектор прямой $SF$. Вектор $\vec{SF} = F - S = (1/2 - 0, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, -\sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

3. Найдем нормальный вектор плоскости $SBC$. Для этого нам нужны две точки, лежащие в плоскости $SBC$. У нас есть $S(0,0,\sqrt{3})$, $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Построим два вектора, лежащих в плоскости: $\vec{SB} = B - S = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$. $\vec{SC} = C - S = (-1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$. Нормальный вектор $\vec{n}$ перпендикулярен этим двум векторам и может быть найден как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \end{vmatrix}$

$\vec{n}_x = (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})(\sqrt{3}/2) = -3/2 - (-3/2) = 0$

$\vec{n}_y = (-\sqrt{3})(-1/2) - (1/2)(-\sqrt{3}) = \sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2 = \sqrt{3}$

$\vec{n}_z = (1/2)(\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2)(-1/2) = \sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4 = \sqrt{3}/2$

Таким образом, нормальный вектор $\vec{n} = (0, \sqrt{3}, \sqrt{3}/2)$. Для упрощения вычислений можно умножить его на $2/\sqrt{3}$, получив $\vec{n}' = (0, 2, 1)$.

4. Вычислим синус угла между прямой $SF$ и плоскостью $SBC$. Синус угла $\phi$ между прямой, задаваемой направляющим вектором $\vec{v}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n}$, вычисляется по формуле: $\sin(\phi) = \frac{| \vec{v} \cdot \vec{n} |}{| \vec{v} | | \vec{n} |}$. У нас $\vec{v} = \vec{SF} = (1/2, -\sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$ и $\vec{n} = (0, 2, 1)$. Скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n} = (1/2)(0) + (-\sqrt{3}/2)(2) + (-\sqrt{3})(1) = 0 - \sqrt{3} - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$. Модуль вектора $\vec{v} = |\vec{SF}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 3} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$. Модуль вектора $\vec{n} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 4 + 1} = \sqrt{5}$. Подставляем значения в формулу: $\sin(\phi) = \frac{|-2\sqrt{3}|}{2 \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$. Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$: $\sin(\phi) = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{5}$