Номер 43, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

43. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой $BD_1$ и плоскостью $BCE_1$.

Дано:

• Призма: правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

• Длина всех ребер: $a = 1$.

Перевод в СИ:

Величины даны в безразмерных единицах (длина 1), перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Синус угла между прямой $BD_1$ и плоскостью $BCE_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Так как призма правильная шестиугольная и все ее ребра равны 1, то сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$. Вершины правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса $R=a=1$, можно определить следующим образом:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Соответствующие вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь $z$-координату, равную высоте призмы $h=1$:

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$D_1 = (-1, 0, 1)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

1. Вектор прямой $BD_1$:

Для прямой $BD_1$ найдем вектор $\vec{BD_1}$.

$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D_1 = (-1, 0, 1)$

$\vec{BD_1} = D_1 - B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Длина вектора $\vec{BD_1}$:

$|\vec{BD_1}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{12/4 + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

2. Нормальный вектор к плоскости $BCE_1$:

Для плоскости $BCE_1$ нам нужны три точки, лежащие в этой плоскости:

$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{BC} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$

$\vec{CE_1} = E_1 - C = (-1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BCE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{BC} \times \vec{CE_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3})) - \vec{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(-1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 0) = (0, 1, \sqrt{3})$

Длина нормального вектора $\vec{n}$:

$|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

3. Синус угла между прямой и плоскостью:

Синус угла $\theta$ между прямой $BD_1$ и плоскостью $BCE_1$ определяется по формуле:

$\sin \theta = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{BD_1} |}{| \vec{n} | \cdot | \vec{BD_1} |}$

Найдем скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{BD_1}$:

$\vec{n} \cdot \vec{BD_1} = (0, 1, \sqrt{3}) \cdot (-3/2, -\sqrt{3}/2, 1) = 0 \cdot (-3/2) + 1 \cdot (-\sqrt{3}/2) + \sqrt{3} \cdot 1 = 0 - \sqrt{3}/2 + \sqrt{3} = \sqrt{3}/2$

Теперь подставим значения в формулу для $\sin \theta$:

$\sin \theta = \frac{|\sqrt{3}/2|}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}/2}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}$

Ответ:

Синус угла между прямой $BD_1$ и плоскостью $BCE_1$ равен $\frac{\sqrt{3}}{8}$.