Номер 5, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5. В кубе $ABCD A_1B_1C_1D_1$ найдите тангенс угла между плоскостями $ABC_1$ и $AB_1D_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Тангенс угла между плоскостями $ABC_1$ и $AB_1D_1$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем систему координат с началом в точке $A$. Оси $x$, $y$, $z$ направим вдоль ребер $AB$, $AD$, $AA_1$ соответственно.

Координаты вершин куба:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (a,0,0)$
• $C = (a,a,0)$
• $D = (0,a,0)$
• $A_1 = (0,0,a)$
• $B_1 = (a,0,a)$
• $C_1 = (a,a,a)$
• $D_1 = (0,a,a)$

Найдем нормальный вектор для плоскости $ABC_1$. Плоскость проходит через точки $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$ и $C_1(a,a,a)$.

Векторы, лежащие в плоскости $ABC_1$:
$\vec{AB} = (a-0, 0-0, 0-0) = (a,0,0)$
$\vec{AC_1} = (a-0, a-0, a-0) = (a,a,a)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $ABC_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC_1}$:
$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot 0) = 0\mathbf{i} - a^2\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = (0, -a^2, a^2)$
Для упрощения можно взять нормальный вектор $\vec{n_1} = (0, -1, 1)$.

Найдем нормальный вектор для плоскости $AB_1D_1$. Плоскость проходит через точки $A(0,0,0)$, $B_1(a,0,a)$ и $D_1(0,a,a)$.

Векторы, лежащие в плоскости $AB_1D_1$:
$\vec{AB_1} = (a-0, 0-0, a-0) = (a,0,a)$
$\vec{AD_1} = (0-0, a-0, a-0) = (0,a,a)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $AB_1D_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB_1} \times \vec{AD_1}$:
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & a \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - a \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - a \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot 0) = -a^2\mathbf{i} - a^2\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = (-a^2, -a^2, a^2)$
Для упрощения можно взять нормальный вектор $\vec{n_2} = (-1, -1, 1)$.

Косинус угла $\phi$ между двумя плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами:
$\cos\phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(-1) + (-1)(-1) + (1)(1) = 0 + 1 + 1 = 2$

Вычислим длины векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:
$||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$
$||\vec{n_2}|| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

Теперь найдем $\cos\phi$:
$\cos\phi = \frac{|2|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Для нахождения тангенса угла воспользуемся тригонометрическим тождеством $\tan^2\phi = \frac{1}{\cos^2\phi} - 1$ или $\tan\phi = \frac{\sin\phi}{\cos\phi}$.

Сначала найдем $\sin^2\phi$:
$\sin^2\phi = 1 - \cos^2\phi = 1 - \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{6}{9} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Так как угол между плоскостями всегда острый или прямой ($0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$), $\sin\phi \ge 0$.
$\sin\phi = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь найдем $\tan\phi$:
$\tan\phi = \frac{\sin\phi}{\cos\phi} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$