Номер 4, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите тангенс угла между плоскостями $ADD_1$ и $BDC_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскости $ADD_1$ и $BDC_1$.

Перевод в СИ:

Для данной геометрической задачи перевод величин в систему СИ не требуется, так как отсутствуют численные значения длин, выраженные в конкретных единицах измерения. Примем длину ребра куба за $a$.

Найти:

$\tan \theta$, где $\theta$ - угол между плоскостями $ADD_1$ и $BDC_1$.

Решение:

Для определения угла между двумя плоскостями воспользуемся методом координат.

1. Введем систему координат. Пусть ребро куба равно $a$. Разместим вершину $D$ в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин будут: $A=(a,0,0)$ $B=(a,a,0)$ $C=(0,a,0)$ $D=(0,0,0)$ $A_1=(a,0,a)$ $B_1=(a,a,a)$ $C_1=(0,a,a)$ $D_1=(0,0,a)$

2. Найдем нормальный вектор к плоскости $ADD_1$. Плоскость $ADD_1$ (она же плоскость $AA_1D_1D$) содержит точки $A(a,0,0)$, $D(0,0,0)$, $D_1(0,0,a)$. Векторы, лежащие в этой плоскости: $\vec{DA} = A - D = (a,0,0)$ $\vec{DD_1} = D_1 - D = (0,0,a)$ Нормальный вектор $\vec{n_1}$ можно найти как векторное произведение $\vec{DA} \times \vec{DD_1}$: $\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a \end{vmatrix} = (0 \cdot a - 0 \cdot 0)\mathbf{i} - (a \cdot a - 0 \cdot 0)\mathbf{j} + (a \cdot 0 - 0 \cdot 0)\mathbf{k} = (0, -a^2, 0)$. Для удобства можно взять нормальный вектор, пропорциональный $(0, -a^2, 0)$, например, $\vec{n_1} = (0, 1, 0)$.

3. Найдем нормальный вектор к плоскости $BDC_1$. Плоскость $BDC_1$ содержит точки $B(a,a,0)$, $D(0,0,0)$, $C_1(0,a,a)$. Векторы, лежащие в этой плоскости: $\vec{DB} = B - D = (a,a,0)$ $\vec{DC_1} = C_1 - D = (0,a,a)$ Нормальный вектор $\vec{n_2}$ можно найти как векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DC_1}$: $\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = (a \cdot a - 0 \cdot a)\mathbf{i} - (a \cdot a - 0 \cdot 0)\mathbf{j} + (a \cdot a - 0 \cdot a)\mathbf{k} = (a^2, -a^2, a^2)$. Для удобства можно взять нормальный вектор, пропорциональный $(a^2, -a^2, a^2)$, например, $\vec{n_2} = (1, -1, 1)$.

4. Вычислим косинус угла $\theta$ между плоскостями. Угол $\theta$ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$ Скалярное произведение $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(1) + (1)(-1) + (0)(1) = 0 - 1 + 0 = -1$. Модули векторов: $||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$. $||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$. Тогда $\cos \theta = \frac{|-1|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

5. Найдем тангенс угла $\theta$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ найдем $\sin \theta$: $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Так как угол между плоскостями по определению является острым ($\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$), $\sin \theta \ge 0$. $\sin \theta = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. Теперь найдем $\tan \theta$: $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{2}$.

Ответ:

$\tan \theta = \sqrt{2}$.