Номер 45, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

45. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой $FC_1$ и плоскостью $BCE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все ребра равны $1$.

Найти:

Косинус угла между прямой $FC_1$ и плоскостью $BCE_1$.

Решение:

Для решения задачи введем систему координат. Поместим центр нижнего основания $O$ в начало координат $(0,0,0)$. Пусть ось $x$ проходит через вершину $A$ и центр $O$. Тогда координаты вершин нижнего основания (призма правильная, длина ребра основания $a=1$):

$A = (1, 0, 0)$
$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Высота призмы $h=1$. Координаты вершин верхнего основания:

$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$
$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем вектор, направляющий прямую $FC_1$.
Координаты точки $F$: $(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.
Координаты точки $C_1$: $(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.
Вектор $\vec{v} = \vec{FC_1} = C_1 - F = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-1, \sqrt{3}, 1)$.
Длина вектора $|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$.

Найдем нормальный вектор к плоскости $BCE_1$.
Координаты точек, лежащих в плоскости $BCE_1$:
$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
Найдем два неколлинеарных вектора в этой плоскости:
$\vec{u} = \vec{CB} = B - C = (1/2 - (-1/2), \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (1, 0, 0)$.
$\vec{w} = \vec{CE_1} = E_1 - C = (-1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$.
Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению этих векторов:
$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3})) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 0) = (0, -1, -\sqrt{3})$.
Длина нормального вектора $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью связан с углом $\beta$ между направляющим вектором прямой $\vec{v}$ и нормальным вектором плоскости $\vec{n}$ соотношением $\sin(\alpha) = |\cos(\beta)|$.
Найдем $\cos(\beta) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{n}}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$.
Скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n} = (-1)(0) + (\sqrt{3})(-1) + (1)(-\sqrt{3}) = 0 - \sqrt{3} - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$.
$\cos(\beta) = \frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{5} \cdot 2} = \frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$.
Тогда $\sin(\alpha) = \left|\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right| = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ для нахождения $\cos(\alpha)$.
$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{5-3}{5}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.
Для устранения иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:
$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.

Ответ: $ \frac{\sqrt{10}}{5} $