Номер 1, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите тангенс угла между плоскостями $A_1B_1C_1$ и $BDC_1$.

2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Требуется найти тангенс угла между плоскостями $A_1B_1C_1$ и $BDC_1$.

Найти: $\tan \varphi$, где $\varphi$ — угол между плоскостями $A_1B_1C_1$ и $BDC_1$.

Решение

1. Введем декартову систему координат. Пусть длина ребра куба равна $a$. Разместим вершину $A$ в начале координат $(0,0,0)$. Оси координат направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$. Тогда координаты вершин куба будут:

• $A=(0,0,0)$
• $B=(a,0,0)$
• $C=(a,a,0)$
• $D=(0,a,0)$
• $A_1=(0,0,a)$
• $B_1=(a,0,a)$
• $C_1=(a,a,a)$
• $D_1=(0,a,a)$

2. Найдем вектор нормали к плоскости $A_1B_1C_1$. Плоскость $A_1B_1C_1$ является плоскостью верхней грани куба. Ее уравнение в выбранной системе координат равно $z=a$. Соответственно, вектор нормали к этой плоскости можно взять как $\vec{n_1} = (0,0,1)$.

3. Найдем вектор нормали к плоскости $BDC_1$. Эта плоскость проходит через точки $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$ и $C_1(a,a,a)$. Для нахождения вектора нормали к плоскости, определенной тремя точками, найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, и вычислим их векторное произведение. Выберем векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DC_1}$:

• $\vec{DB} = B - D = (a-0, 0-a, 0-0) = (a, -a, 0)$
• $\vec{DC_1} = C_1 - D = (a-0, a-a, a-0) = (a, 0, a)$

Вектор нормали $\vec{n_2}$ к плоскости $BDC_1$ является векторным произведением $\vec{DB}$ и $\vec{DC_1}$:

$\vec{n_2} = \vec{DB} \times \vec{DC_1} = \det \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & -a & 0 \\ a & 0 & a \end{pmatrix} = \vec{i}((-a)(a) - (0)(0)) - \vec{j}((a)(a) - (0)(a)) + \vec{k}((a)(0) - (-a)(a))$

$\vec{n_2} = -a^2\vec{i} - a^2\vec{j} + a^2\vec{k} = (-a^2, -a^2, a^2)$

Поскольку $a \ne 0$, мы можем взять коллинеарный вектор нормали, разделив все компоненты на $-a^2$: $\vec{n_2} = (1, 1, -1)$.

4. Вычислим косинус угла $\varphi$ между двумя плоскостями. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

$\cos \varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(1) + (0)(1) + (1)(-1) = 0 + 0 - 1 = -1$

Вычислим длины (модули) векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

Теперь подставим значения в формулу для $\cos \varphi$:

$\cos \varphi = \frac{|-1|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

5. Вычислим тангенс угла $\varphi$. Используем основное тригонометрическое тождество $\tan^2 \varphi + 1 = \sec^2 \varphi = \frac{1}{\cos^2 \varphi}$:

$\tan^2 \varphi = \frac{1}{\cos^2 \varphi} - 1 = \frac{1}{(1/\sqrt{3})^2} - 1 = \frac{1}{1/3} - 1 = 3 - 1 = 2$

Поскольку угол между плоскостями принято считать острым (или прямым, т.е. $\varphi \in [0, \pi/2]$), значение тангенса должно быть неотрицательным ($\tan \varphi \ge 0$).

$\tan \varphi = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$