Номер 3, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите тангенс угла между плоскостями $BCC_1$ и $CB_1D_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.Плоскость $P_1$: $BCC_1$.Плоскость $P_2$: $CB_1D_1$.

Для решения задачи примем длину ребра куба за $a$. Перевод в систему СИ не требуется, так как задача носит геометрический характер и не содержит физических величин.

Найти:

Тангенс угла между плоскостями $BCC_1$ и $CB_1D_1$.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $A$. Оси $x$, $y$, $z$ направим вдоль ребер $AB$, $AD$, $AA_1$ соответственно.

Координаты вершин куба будут:$A=(0,0,0)$, $B=(a,0,0)$, $C=(a,a,0)$, $D=(0,a,0)$
$A_1=(0,0,a)$, $B_1=(a,0,a)$, $C_1=(a,a,a)$, $D_1=(0,a,a)$

1. Нахождение нормального вектора для плоскости $BCC_1$.

Плоскость $BCC_1$ (то есть грань $BCC_1B_1$) параллельна плоскости $YOZ$ и проходит через точку с координатой $x=a$. Уравнение этой плоскости: $x - a = 0$.Нормальный вектор для плоскости $BCC_1$ можно взять как $\vec{n_1} = (1, 0, 0)$.

2. Нахождение нормального вектора для плоскости $CB_1D_1$.

Плоскость $CB_1D_1$ проходит через точки $C(a,a,0)$, $B_1(a,0,a)$ и $D_1(0,a,a)$.Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:$\vec{CB_1} = B_1 - C = (a-a, 0-a, a-0) = (0, -a, a)$.$\vec{CD_1} = D_1 - C = (0-a, a-a, a-0) = (-a, 0, a)$.

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ для плоскости $CB_1D_1$ перпендикулярен обоим векторам $\vec{CB_1}$ и $\vec{CD_1}$. Его можно найти с помощью векторного произведения:$\vec{n_2} = \vec{CB_1} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -a & a \\ -a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-a \cdot a - a \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot a - a \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - (-a) \cdot (-a))$$\vec{n_2} = \mathbf{i}(-a^2) - \mathbf{j}(a^2) + \mathbf{k}(-a^2) = (-a^2, -a^2, -a^2)$.Для удобства расчетов можно взять любой вектор, коллинеарный $\vec{n_2}$. Разделим все компоненты на $-a^2$ (поскольку $a \neq 0$):$\vec{n_2} = (1, 1, 1)$.

3. Вычисление косинуса угла между плоскостями.

Угол $\phi$ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Косинус угла между векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ определяется по формуле:$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

Вычислим скалярное произведение:$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(1) + (0)(1) + (0)(1) = 1$.

Вычислим длины векторов:$||\vec{n_1}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.$||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим значения в формулу для косинуса:$\cos \phi = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

4. Вычисление тангенса угла.

Используем основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус: $\tan^2 \phi + 1 = \sec^2 \phi = \frac{1}{\cos^2 \phi}$.Отсюда выразим $\tan^2 \phi$:$\tan^2 \phi = \frac{1}{\cos^2 \phi} - 1$$\tan^2 \phi = \frac{1}{(1/\sqrt{3})^2} - 1 = \frac{1}{1/3} - 1 = 3 - 1 = 2$.Поскольку угол между плоскостями обычно принимается как острый (от $0$ до $\pi/2$), его тангенс будет положительным:$\tan \phi = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$