Номер 10, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между плоскостями $ACB_1$ и $BCD_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскости $ACB_1$ и $BCD_1$.

Найти: Угол между плоскостями $ACB_1$ и $BCD_1$.

Решение

Для определения угла между плоскостями воспользуемся методом координат.

1. Введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $A(0,0,0)$ куба. Оси координат $x, y, z$ направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Тогда координаты вершин куба будут:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (a,0,0)$
• $C = (a,a,0)$
• $D = (0,a,0)$
• $A_1 = (0,0,a)$
• $B_1 = (a,0,a)$
• $C_1 = (a,a,a)$
• $D_1 = (0,a,a)$

2. Найдем нормальный вектор к плоскости $ACB_1$.

Плоскость $ACB_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$, $C(a,a,0)$ и $B_1(a,0,a)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

• Вектор $\vec{AC} = C - A = (a-0, a-0, 0-0) = (a,a,0)$
• Вектор $\vec{AB_1} = B_1 - A = (a-0, 0-0, a-0) = (a,0,a)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $ACB_1$ является векторным произведением этих двух векторов:

$ \vec{n_1} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot 0 - a \cdot a) $

$ \vec{n_1} = (a^2, -a^2, -a^2) $

Для удобства вычислений можно взять коллинеарный вектор, разделив все компоненты на $a^2$ (поскольку $a \ne 0$):

$ \vec{n_1}' = (1, -1, -1) $

3. Найдем нормальный вектор к плоскости $BCD_1$.

Плоскость $BCD_1$ проходит через точки $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$ и $D_1(0,a,a)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

• Вектор $\vec{BC} = C - B = (a-a, a-0, 0-0) = (0,a,0)$
• Вектор $\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-a, a-0, a-0) = (-a,a,a)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $BCD_1$ является векторным произведением этих двух векторов:

$ \vec{n_2} = \vec{BC} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ -a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot a - a \cdot (-a)) $

$ \vec{n_2} = (a^2, 0, a^2) $

Для удобства вычислений можно взять коллинеарный вектор, разделив все компоненты на $a^2$:

$ \vec{n_2}' = (1, 0, 1) $

4. Вычислим угол между плоскостями.

Угол $\phi$ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Косинус угла между векторами $\vec{n_1}'$ и $\vec{n_2}'$ вычисляется по формуле:

$ \cos \phi = \frac{|\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}'|}{|\vec{n_1}'| |\vec{n_2}'|} $

Найдем скалярное произведение векторов:

$ \vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = (1)(1) + (-1)(0) + (-1)(1) = 1 + 0 - 1 = 0 $

Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, это означает, что векторы ортогональны. Следовательно, косинус угла между ними равен 0.

$ \cos \phi = 0 $

Отсюда, угол $\phi$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.