Номер 14, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, найдите тангенс угла между плоскостями $SAC$ и $SBC$.

Дано

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длины всех ребер равны 1: $AB = BC = CD = DA = 1$, $SA = SB = SC = SD = 1$.

Перевод в СИ

Все ребра равны 1 условной единице длины.

Найти

Тангенс угла между плоскостями $SAC$ и $SBC$.

Решение

1. Определим параметры пирамиды.

Так как пирамида правильная четырехугольная, ее основание $ABCD$ является квадратом со стороной $AB=1$.Все боковые ребра также равны 1 ($SA=SB=SC=SD=1$).Диагональ основания $AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.Пусть $O$ – центр основания $ABCD$. Тогда $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.$OC = \frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания.В прямоугольном треугольнике $SOC$ (угол $SOC$ прямой):$SO^2 + OC^2 = SC^2$$SO^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1^2$$SO^2 + \frac{2}{4} = 1$$SO^2 + \frac{1}{2} = 1$$SO^2 = \frac{1}{2}$$SO = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Найдем угол между плоскостями $SAC$ и $SBC$.

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между перпендикулярами, проведенными в этих плоскостях к линии их пересечения через одну и ту же точку на линии пересечения.Линией пересечения плоскостей $SAC$ и $SBC$ является ребро $SC$.Рассмотрим треугольник $SBC$. Все его стороны равны 1 ($SB=SC=BC=1$), следовательно, треугольник $SBC$ равносторонний.Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ к ребру $SC$ в треугольнике $SBC$.В равностороннем треугольнике высота является также медианой, поэтому $K$ – середина $SC$.Длина высоты $BK = BC \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Таким образом, $BK \perp SC$ и $K$ – середина $SC$.

Рассмотрим треугольник $SAC$. $SA=1, SC=1, AC=\sqrt{2}$.Проверим тип этого треугольника: $SA^2 + SC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. $AC^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.Так как $SA^2 + SC^2 = AC^2$, треугольник $SAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $S$. То есть $SA \perp SC$.Это означает, что $SA$ является перпендикуляром к линии $SC$ в плоскости $SAC$. Однако точка $S$ не совпадает с точкой $K$ (серединой $SC$), поэтому $SA$ не может быть одним из отрезков, формирующих искомый угол.

Для нахождения угла между плоскостями нам нужна точка на $SC$, из которой опускаются перпендикуляры к $SC$ в каждой плоскости. Мы уже нашли, что $K$ – середина $SC$.В треугольнике $SBC$, $BK$ – это высота к $SC$, так что $BK \perp SC$. $K$ – середина $SC$.Теперь нам нужно найти отрезок в плоскости $SAC$, который проходит через $K$ и перпендикулярен $SC$.Рассмотрим треугольник $SOC$. $SO = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $OC = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $SC=1$.Так как $SO^2+OC^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 = SC^2$, треугольник $SOC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.$O$ - это центр основания, $SO$ - высота пирамиды.Проведем высоту $OK$ из вершины $O$ к ребру $SC$ в треугольнике $SOC$.$OK$ – это высота к гипотенузе $SC$ в прямоугольном треугольнике $SOC$.Площадь $\triangle SOC = \frac{1}{2} \cdot SO \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$.Также Площадь $\triangle SOC = \frac{1}{2} \cdot SC \cdot OK$.$\frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot OK \implies OK = \frac{1}{2}$.Чтобы убедиться, что $K$ действительно середина $SC$, найдем $SK$. В прямоугольном $\triangle SOK$:$SK = \sqrt{SO^2 - OK^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.Так как $SC=1$ и $SK=1/2$, то $K$ действительно является серединой $SC$.Таким образом, мы нашли точку $K$ на $SC$, такую что $BK \perp SC$ (в плоскости $SBC$) и $OK \perp SC$ (в плоскости $SAC$, так как $O$ лежит в плоскости $SAC$ - он является пересечением диагоналей $AC$ и $BD$).Угол между плоскостями $SAC$ и $SBC$ равен углу $\angle OKB$.

3. Вычислим тангенс угла $\angle OKB$.

Рассмотрим треугольник $OKB$.Мы знаем $OK = \frac{1}{2}$ и $BK = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Длину $OB$ мы уже находили: $OB = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (так как $BD$ - диагональ квадрата со стороной 1).Применим теорему косинусов к треугольнику $OKB$:$OB^2 = OK^2 + BK^2 - 2 \cdot OK \cdot BK \cdot \cos(\angle OKB)$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle OKB)$$\frac{2}{4} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \cos(\angle OKB)$$\frac{1}{2} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\angle OKB)$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\angle OKB) = 1 - \frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\angle OKB) = \frac{1}{2}$$\cos(\angle OKB) = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем тангенс этого угла. Пусть $\theta = \angle OKB$.$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.Мы знаем $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.Так как угол между плоскостями лежит в диапазоне от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, $\sin \theta > 0$.$\sin \theta = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.$\tan \theta = \frac{\sqrt{2}/\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.

Ответ:

Тангенс угла между плоскостями $SAC$ и $SBC$ равен $\sqrt{2}$.