Номер 11, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В тетраэдре $ABCD$, все ребра которого равны $1$, найдите косинус угла между плоскостями $ABC$ и $ACD$.

Дано

Тетраэдр $ABCD$.

Длина всех ребер $a = AB = BC = CD = DA = AC = BD = 1$.

Перевод в систему СИ

Длина ребра $a = 1 \, \text{м}$.

Найти:

Косинус угла между плоскостями $ABC$ и $ACD$, то есть $\cos(\angle (ABC, ACD))$.

Решение

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно их линии пересечения из одной точки, лежащей на этой линии.

Линией пересечения плоскостей $ABC$ и $ACD$ является прямая $AC$.

Поскольку все ребра тетраэдра равны 1, то тетраэдр $ABCD$ является правильным. Следовательно, все его грани, включая $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$, являются равносторонними треугольниками со стороной 1.

Пусть $M$ - середина ребра $AC$.

В равностороннем треугольнике $ABC$, медиана $BM$ также является высотой, поэтому $BM \perp AC$. Длина медианы (высоты) равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Для $\triangle ABC$ со стороной $a=1$: $BM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично, в равностороннем треугольнике $ACD$, медиана $DM$ также является высотой, поэтому $DM \perp AC$.

Для $\triangle ACD$ со стороной $a=1$: $DM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$ - это угол $\angle BMD$.

Рассмотрим треугольник $BMD$. Мы знаем длины сторон: $BM = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $DM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $BD = 1$ (как ребро тетраэдра).

Применим теорему косинусов для треугольника $BMD$ для нахождения косинуса угла $\angle BMD$:

$BD^2 = BM^2 + DM^2 - 2 \cdot BM \cdot DM \cdot \cos(\angle BMD)$

Подставим известные значения:

$1^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\angle BMD)$

$1 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \cos(\angle BMD)$

$1 = \frac{6}{4} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle BMD)$

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle BMD)$

Выразим $\cos(\angle BMD)$:

$\frac{3}{2} \cdot \cos(\angle BMD) = \frac{3}{2} - 1$

$\frac{3}{2} \cdot \cos(\angle BMD) = \frac{1}{2}$

$\cos(\angle BMD) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}$

$\cos(\angle BMD) = \frac{1}{3}$

Ответ:

$\frac{1}{3}$