Номер 7, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите косинус угла между плоскостями $BA_1C_1$ и $AB_1D_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B, A_1, C_1$.

Плоскость $\beta$ проходит через точки $A, B_1, D_1$.

Найти:

Косинус угла между плоскостями $BA_1C_1$ и $AB_1D_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем систему координат с началом в точке $A$. Оси координат направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$.

Тогда координаты вершин куба будут:

• $A = (0, 0, 0)$
• $B = (a, 0, 0)$
• $C = (a, a, 0)$
• $D = (0, a, 0)$
• $A_1 = (0, 0, a)$
• $B_1 = (a, 0, a)$
• $C_1 = (a, a, a)$
• $D_1 = (0, a, a)$

Найдем нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $BA_1C_1$. Для этого возьмем три точки, принадлежащие плоскости: $B(a, 0, 0)$, $A_1(0, 0, a)$, $C_1(a, a, a)$.

Составим два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{BA_1} = A_1 - B = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$

$\vec{BC_1} = C_1 - B = (a-a, a-0, a-0) = (0, a, a)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $BA_1C_1$ равен векторному произведению $\vec{BA_1} \times \vec{BC_1}$:

$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a & 0 & a \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - a \cdot a) - \mathbf{j}(-a \cdot a - a \cdot 0) + \mathbf{k}(-a \cdot a - 0 \cdot 0)$

$\vec{n_1} = -a^2\mathbf{i} + a^2\mathbf{j} - a^2\mathbf{k} = (-a^2, a^2, -a^2)$

Для удобства можем взять коллинеарный вектор, разделив на $-a^2$ (поскольку $a \ne 0$):

$\vec{n_1} = (1, -1, 1)$

Теперь найдем нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $AB_1D_1$. Точки, принадлежащие плоскости: $A(0, 0, 0)$, $B_1(a, 0, a)$, $D_1(0, a, a)$.

Составим два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (a, 0, a)$

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0, a, a)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $AB_1D_1$ равен векторному произведению $\vec{AB_1} \times \vec{AD_1}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & a \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - a \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - a \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot 0)$

$\vec{n_2} = -a^2\mathbf{i} - a^2\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = (-a^2, -a^2, a^2)$

Для удобства можем взять коллинеарный вектор, разделив на $-a^2$:

$\vec{n_2} = (1, 1, -1)$

Косинус угла $\phi$ между двумя плоскостями определяется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 - 1 = -1$

Вычислим модули нормальных векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

Подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|-1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$

Ответ:

Косинус угла между плоскостями $BA_1C_1$ и $AB_1D_1$ равен $\frac{1}{3}$.