Номер 9, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между плоскостями $ABC_1$ и $BCD_1$.

10. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между плоскостями $ACB_1$

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

(Перевод в систему СИ не требуется, так как задача по геометрии и не содержит физических величин)

Найти:

Угол между плоскостями $ABC_1$ и $BCD_1$.

Решение:

Для нахождения угла между плоскостями воспользуемся методом координат. Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба будут: $A(0,0,0)$ $B(a,0,0)$ $C(a,a,0)$ $D(0,a,0)$ $A_1(0,0,a)$ $B_1(a,0,a)$ $C_1(a,a,a)$ $D_1(0,a,a)$

1. Найдем нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $ABC_1$. Для этого выберем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$. Вектор $\vec{AB} = B - A = (a-0, 0-0, 0-0) = (a,0,0)$. Вектор $\vec{AC_1} = C_1 - A = (a-0, a-0, a-0) = (a,a,a)$. Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $ABC_1$ можно найти как векторное произведение этих двух векторов: $\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot a) = (0, -a^2, a^2)$. Поскольку нам нужен только направление нормального вектора, мы можем взять вектор, пропорциональный $(0, -1, 1)$. Пусть $\vec{n_1} = (0, -1, 1)$.

2. Найдем нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $BCD_1$. Для этого выберем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BD_1}$. Вектор $\vec{BC} = C - B = (a-a, a-0, 0-0) = (0,a,0)$. Вектор $\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-a, a-0, a-0) = (-a,a,a)$. Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $BCD_1$ можно найти как векторное произведение этих двух векторов: $\vec{n_2} = \vec{BC} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ -a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot a - a \cdot (-a)) = (a^2, 0, a^2)$. Аналогично, мы можем взять вектор, пропорциональный $(1, 0, 1)$. Пусть $\vec{n_2} = (1, 0, 1)$.

3. Угол $\theta$ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Косинус угла между векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ вычисляется по формуле: $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$ Найдем скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(1) + (-1)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$. Найдем модули (длины) векторов: $||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$. $||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$. Подставим эти значения в формулу для косинуса угла: $\cos \theta = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$. Следовательно, угол $\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right)$. $\theta = 60^\circ$.

Ответ:

$60^\circ$