Номер 15, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите косинус двугранного угла, образованного гранями $SAD$ и $SCD$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида SABCD, у которой все ребра равны 1. Это означает, что длины всех ребер основания (AB, BC, CD, DA) и всех боковых ребер (SA, SB, SC, SD) равны 1.

Найти:

Косинус двугранного угла, образованного гранями SAD и SCD.

Решение:

Двугранный угол между двумя гранями определяется как угол между двумя прямыми, каждая из которых лежит в одной из граней и перпендикулярна к общей линии пересечения этих граней в одной и той же точке.

Для граней SAD и SCD общей линией пересечения является ребро SD.

Поскольку все ребра пирамиды равны 1, треугольники SAD и SCD являются равносторонними треугольниками со стороной 1. То есть, $SA = AD = SD = 1$ и $SC = CD = SD = 1$.

Проведем высоту AM в равностороннем треугольнике SAD из вершины A к стороне SD. Так как $\triangle SAD$ равносторонний, высота AM также является медианой, поэтому точка M является серединой ребра SD.

Длина высоты AM в равностороннем треугольнике со стороной 1 вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ - длина стороны. В нашем случае $a=1$, поэтому $AM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично, проведем высоту CM в равностороннем треугольнике SCD из вершины C к стороне SD. Точка M также будет серединой ребра SD, так как это равносторонний треугольник. Длина высоты CM равна $CM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, прямые AM и CM лежат в соответствующих гранях (SAD и SCD) и обе перпендикулярны общей линии пересечения SD в точке M. Следовательно, искомый двугранный угол равен углу $\angle AMC$.

Теперь рассмотрим треугольник AMC. Нам известны длины сторон AM и CM. Нам осталось найти длину стороны AC. AC является диагональю основания ABCD. Поскольку основание ABCD является квадратом со стороной 1 ($AD=CD=1$), длина диагонали AC может быть найдена по теореме Пифагора:

$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Теперь, зная длины всех сторон треугольника AMC ($AM = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $CM = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $AC = \sqrt{2}$), мы можем применить теорему косинусов для нахождения косинуса угла $\angle AMC$:

$AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2 \cdot AM \cdot CM \cdot \cos(\angle AMC)$

$(\sqrt{2})^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\angle AMC)$

$2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \cos(\angle AMC)$

$2 = \frac{6}{4} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle AMC)$

$2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle AMC)$

Вычтем $\frac{3}{2}$ из обеих частей уравнения:

$2 - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} \cdot \cos(\angle AMC)$

$\frac{4}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} \cdot \cos(\angle AMC)$

$\frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \cdot \cos(\angle AMC)$

Умножим обе части на 2:

$1 = -3 \cdot \cos(\angle AMC)$

Разделим на -3:

$\cos(\angle AMC) = -\frac{1}{3}$

Ответ:

$-\frac{1}{3}$