Номер 12, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями $ABC$ и $SCD$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра равны 1: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Перевод в СИ:

Длины ребер даны в условных единицах (без указания конкретной единицы измерения). Поэтому перевод в систему СИ не требуется. Будем считать, что длина ребра $a = 1$ (условная единица).

Найти:

Косинус угла между плоскостями $ABC$ и $SCD$.

Решение:

Угол между плоскостями $ABC$ (плоскость основания $ABCD$) и $SCD$ определяется как угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в каждой из плоскостей из одной точки на линии пересечения.

1. Линией пересечения плоскостей $ABCD$ и $SCD$ является ребро $CD$.

2. Пусть $K$ — середина ребра $CD$. Тогда $K$ лежит на линии пересечения $CD$.

3. В плоскости основания $ABCD$: $ABCD$ — квадрат со стороной $a=1$. $O$ — центр основания (проекция вершины $S$). Отрезок $OK$ является апофемой основания, которая перпендикулярна $CD$. Длина $OK$ равна половине стороны квадрата: $OK = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

4. В плоскости боковой грани $SCD$: Треугольник $SCD$ является равносторонним, так как $SC=CD=SD=1$. $SK$ — медиана и высота этого равностороннего треугольника, проведенная к стороне $CD$. Следовательно, $SK \perp CD$. Длина $SK$ (высота равностороннего треугольника со стороной $a=1$) равна $SK = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

5. Угол между плоскостями $ABC$ и $SCD$ — это угол $\angle SKO$, поскольку $OK \perp CD$ и $SK \perp CD$.

6. Рассмотрим треугольник $SOK$. $SO$ — высота пирамиды, которая перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, а значит, и отрезку $OK$, лежащему в этой плоскости. Таким образом, $\triangle SOK$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $O$.

7. Косинус угла $\angle SKO$ в прямоугольном треугольнике $SOK$ равен отношению прилежащего катета $OK$ к гипотенузе $SK$:

$\cos(\angle SKO) = \frac{OK}{SK}$

$\cos(\angle SKO) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\cos(\angle SKO) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\cos(\angle SKO) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos(\angle SKO) = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$