Номер 8, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между плоскостями $ABC_1$ и $BCD_1$.

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между плоскостями $ABC_1$ и $BCD_1$.

Решение

Для решения задачи используем метод координат. Пусть ребро куба равно $a$. Введем систему координат с началом в точке A, ось Ax направлена вдоль AB, Ay вдоль AD, Az вдоль $AA_1$.

Координаты вершин куба:

$A = (0,0,0)$

$B = (a,0,0)$

$C = (a,a,0)$

$D = (0,a,0)$

$A_1 = (0,0,a)$

$B_1 = (a,0,a)$

$C_1 = (a,a,a)$

$D_1 = (0,a,a)$

1. Нахождение нормального вектора плоскости $ABC_1$.

Плоскость $ABC_1$ определяется точками $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$ и $C_1(a,a,a)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{AB} = (a-0, 0-0, 0-0) = (a,0,0)$

$\vec{AC_1} = (a-0, a-0, a-0) = (a,a,a)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $ABC_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC_1}$:

$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot a) = (0, -a^2, a^2)$

Для удобства вычислений можно взять более простой коллинеарный вектор, например, разделив на $a^2$ (поскольку $a \ne 0$):

$\vec{n_1} = (0, -1, 1)$

2. Нахождение нормального вектора плоскости $BCD_1$.

Плоскость $BCD_1$ определяется точками $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$ и $D_1(0,a,a)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{BC} = (a-a, a-0, 0-0) = (0,a,0)$

$\vec{BD_1} = (0-a, a-0, a-0) = (-a,a,a)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $BCD_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{BC} \times \vec{BD_1}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ -a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot a - a \cdot (-a)) = (a^2, 0, a^2)$

Для удобства вычислений можно взять более простой коллинеарный вектор, например, разделив на $a^2$:

$\vec{n_2} = (1, 0, 1)$

3. Вычисление угла между плоскостями.

Угол $\phi$ между двумя плоскостями можно найти по формуле, используя их нормальные векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(1) + (-1)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$

Вычислим модули нормальных векторов:

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$

Подставим значения в формулу для $\cos \phi$:

$\cos \phi = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

Следовательно, угол $\phi$ равен:

$\phi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$