Номер 13, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями $SAB$ и $SCD$.

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Все ребра равны 1 ($SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 1$).

Найти:

Косинус угла между плоскостями $SAB$ и $SCD$.

Решение:

1. Так как пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной, ее основание $ABCD$ - квадрат. Все боковые грани (треугольники $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$) являются равнобедренными треугольниками. Поскольку все ребра пирамиды равны 1, все эти треугольники (включая основание) являются равносторонними со стороной 1.

2. Плоскости $SAB$ и $SCD$ содержат параллельные отрезки $AB$ и $CD$ соответственно. Линия их пересечения проходит через вершину $S$ и параллельна $AB$ и $CD$.

3. Для нахождения угла между плоскостями $SAB$ и $SCD$ построим их линейный угол. Пусть $M$ - середина ребра $AB$, а $N$ - середина ребра $CD$.

4. В равностороннем треугольнике $SAB$ высота $SM$ является медианой и высотой к стороне $AB$. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $SM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

5. Аналогично, в равностороннем треугольнике $SCD$ высота $SN$ к стороне $CD$ будет равна $SN = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. Угол между плоскостями $SAB$ и $SCD$ - это угол между прямыми $SM$ и $SN$, то есть $\angle MSN$.

7. Рассмотрим треугольник $MSN$. $M$ и $N$ - середины противоположных сторон квадрата $ABCD$. Следовательно, отрезок $MN$ параллелен сторонам $AD$ и $BC$ и равен их длине. Таким образом, $MN = 1$.

8. Теперь у нас есть треугольник $MSN$ со сторонами $SM = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $SN = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $MN = 1$. Применим теорему косинусов для нахождения $\cos(\angle MSN)$:

$MN^2 = SM^2 + SN^2 - 2 \cdot SM \cdot SN \cdot \cos(\angle MSN)$

$1^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\angle MSN)$

$1 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \cos(\angle MSN)$

$1 = \frac{6}{4} - \frac{6}{4} \cdot \cos(\angle MSN)$

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle MSN)$

Вычтем $\frac{3}{2}$ из обеих частей уравнения:

$1 - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} \cdot \cos(\angle MSN)$

$-\frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \cdot \cos(\angle MSN)$

Разделим обе части на $-\frac{3}{2}$:

$\cos(\angle MSN) = \frac{-1/2}{-3/2}$

$\cos(\angle MSN) = \frac{1}{3}$

Ответ: $1/3$