Номер 17, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями $SAF$ и $SCD$.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ — правильная шестиугольная.

Стороны основания $a = 1$.

Боковые ребра $l = 2$.

Перевод в систему СИ не требуется, так как искомая величина (косинус угла) является безразмерной, а заданные длины уже выражены в согласованных условных единицах.

Найти:

Косинус угла между плоскостями $SAF$ и $SCD$.

Решение:

1.Определение высоты пирамиды.

Так как пирамида правильная, ее вершина $S$ проецируется в центр $O$ основания. Основание является правильным шестиугольником, поэтому расстояние от центра $O$ до любой вершины $A$ равно длине стороны основания $a$. То есть, $OA = a = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$, где $SO$ — высота пирамиды $h$, $OA$ — радиус описанной окружности основания, $SA$ — боковое ребро $l$. По теореме Пифагора:

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$h^2 + a^2 = l^2$

Подставляя известные значения:

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 + 1 = 4$

$h^2 = 3$

$h = \sqrt{3}$.

Таким образом, высота пирамиды $S = (0, 0, \sqrt{3})$, если начало координат $O$ находится в центре основания.

2.Определение координат вершин основания.

Расположим основание пирамиды в плоскости $xy$, а центр основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Длина стороны шестиугольника равна 1.

• $A = (1, 0, 0)$ (примем, что вершина $A$ лежит на оси $x$)

• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

3.Нахождение нормальных векторов к плоскостям.

Угол между плоскостями можно найти как угол между их нормальными векторами. Нормальный вектор к плоскости можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости.

Для плоскости $SAF$:

Вектор $\vec{SA} = A - S = (1 - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$.

Вектор $\vec{SF} = F - S = (1/2 - 0, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, -\sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

Нормальный вектор $\vec{n_1} = \vec{SA} \times \vec{SF}$:

$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -\sqrt{3} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \end{vmatrix}$

$\vec{n_1} = \mathbf{i}(0 \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(1 \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) \cdot (1/2)) + \mathbf{k}(1 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (1/2))$

$\vec{n_1} = \mathbf{i}(0 - 3/2) - \mathbf{j}(-\sqrt{3} + \sqrt{3}/2) + \mathbf{k}(-\sqrt{3}/2 - 0)$

$\vec{n_1} = (-3/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3}/2)$.

Для плоскости $SCD$:

Вектор $\vec{SC} = C - S = (-1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

Вектор $\vec{SD} = D - S = (-1 - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-1, 0, -\sqrt{3})$.

Нормальный вектор $\vec{n_2} = \vec{SC} \times \vec{SD}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ -1 & 0 & -\sqrt{3} \end{vmatrix}$

$\vec{n_2} = \mathbf{i}(\sqrt{3}/2 \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) \cdot 0) - \mathbf{j}(-1/2 \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) \cdot (-1)) + \mathbf{k}(-1/2 \cdot 0 - \sqrt{3}/2 \cdot (-1))$

$\vec{n_2} = \mathbf{i}(-3/2 - 0) - \mathbf{j}(\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}) + \mathbf{k}(0 + \sqrt{3}/2)$

$\vec{n_2} = (-3/2, \sqrt{3}/2, \sqrt{3}/2)$.

4.Вычисление косинуса угла между плоскостями.

Косинус угла $\theta$ между двумя плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$.

Скалярное произведение $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-3/2)(-3/2) + (\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}/2)$

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 9/4 + 3/4 - 3/4 = 9/4$.

Модули нормальных векторов:

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 3/4} = \sqrt{15/4} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 3/4} = \sqrt{15/4} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.

Теперь подставим эти значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{|9/4|}{(\sqrt{15}/2)(\sqrt{15}/2)} = \frac{9/4}{15/4} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

Ответ:

$3/5$