Номер 22, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $AB_1C_1$.

Дано

Правильная треугольная призма $ABC A_1B_1C_1$.
Длины всех ребер равны 1: $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Найти:

Тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $AB C_1$.

Решение

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях, проведенными перпендикулярно к линии их пересечения через одну и ту же точку.
1. Найдем линию пересечения плоскостей $ABC$ и $AB C_1$. Обе плоскости содержат отрезок $AB$, следовательно, линия пересечения - это прямая $AB$.
2. В плоскости $ABC$ проведем высоту $CM$ к стороне $AB$ в равностороннем треугольнике $ABC$. Поскольку $M$ - середина $AB$, $CM \perp AB$. Длина стороны треугольника $a = 1$. Высота $CM$ в равностороннем треугольнике равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$CM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. В плоскости $AB C_1$ проведем отрезок $C_1M$. Треугольник $AB C_1$ является равнобедренным, так как $AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ и $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Поскольку $M$ - середина $AB$, $C_1M$ является медианой к основанию равнобедренного треугольника, а значит, и его высотой. Следовательно, $C_1M \perp AB$.
4. Таким образом, угол между плоскостями $ABC$ и $AB C_1$ равен углу $\angle C_1MC$.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $C_1MC$. Поскольку призма правильная, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $CC_1 \perp CM$.
6. Катеты этого треугольника: $CC_1 = 1$ (высота призмы) и $CM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (высота основания).
7. Тангенс угла $\angle C_1MC$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
$\tan(\angle C_1MC) = \frac{CC_1}{CM} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
8. Рационализируем знаменатель: $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$