Номер 26, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями $ABC$ и $BFE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1.

Длина ребра основания $a = 1$.

Высота призмы $h = 1$.

Перевод в СИ:

Все данные уже в безразмерных единицах, можно считать, что они равны 1 метру или 1 единице длины.

$a = 1$ м

$h = 1$ м

Найти:

Угол между плоскостями $ABC$ и $BFE_1$.

Решение:

1.Определение плоскостей и линии пересечения.

Плоскость $ABC$ — это плоскость нижнего основания призмы.

Плоскость $BFE_1$ — это плоскость, проходящая через вершины $B$ и $F$ нижнего основания и вершину $E_1$ верхнего основания.

Линией пересечения этих двух плоскостей является прямая $BF$.

2.Выбор системы координат и координат вершин.

Поместим центр нижнего основания $O$ в начало координат $(0,0,0)$.

Так как все ребра равны 1, длина стороны основания $a=1$, а высота призмы $h=1$. Нижнее основание лежит в плоскости $z=0$, верхнее — в плоскости $z=1$.

Координаты вершин нижнего основания (радиус описанной окружности равен $a=1$):

Пусть $B = (1,0,0)$.

Тогда остальные вершины шестиугольника, обходя против часовой стрелки:

$C = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

$D = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

$E = (-1,0,0)$.

$F = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

$A = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Координаты соответствующей вершины верхнего основания $E_1$: $E_1 = (-1,0,1)$.

3.Векторный метод нахождения угла между плоскостями.

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

a) Нормальный вектор для плоскости $ABC$.

Плоскость $ABC$ совпадает с плоскостью $z=0$. Ее нормальный вектор $\vec{n_1}$ направлен вдоль оси $z$.

$\vec{n_1} = (0,0,1)$.

b) Нормальный вектор для плоскости $BFE_1$.

Для нахождения нормального вектора плоскости $BFE_1$ используем векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{FB}$ и $\vec{FE_1}$.

Вектор $\vec{FB} = B - F = (1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 0 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{FE_1} = E_1 - F = (-1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n_2} = \vec{FB} \times \vec{FE_1}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} ((\sqrt{3}/2)(1) - 0(\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j} ((3/2)(1) - 0(-1/2)) + \mathbf{k} ((3/2)(\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2)(-1/2))$

$\vec{n_2} = \mathbf{i} (\sqrt{3}/2) - \mathbf{j} (3/2) + \mathbf{k} (3\sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4) = (\sqrt{3}/2, -3/2, 4\sqrt{3}/4) = (\sqrt{3}/2, -3/2, \sqrt{3})$.

Для упрощения вычислений, возьмем скалированный нормальный вектор $\vec{n_2}' = 2\vec{n_2} = (\sqrt{3}, -3, 2\sqrt{3})$.

c) Вычисление угла.

Угол $\theta$ между плоскостями определяется по формуле $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}'|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}'|}$.

Скалярное произведение: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}' = (0)(\sqrt{3}) + (0)(-3) + (1)(2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$.

Модули векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1$.

$|\vec{n_2}'| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 9 + 4 \cdot 3} = \sqrt{3 + 9 + 12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{3}}{1 \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Следовательно, $\theta = \arccos(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^\circ$.

4.Геометрический метод (проверка).

Угол между плоскостями — это угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения в одной точке.

Линия пересечения плоскостей $ABC$ и $BFE_1$ — это прямая $BF$.

a) Определение прямой в плоскости $ABC$, перпендикулярной $BF$.

Рассмотрим векторы $\vec{FB}$ и $\vec{FE}$ в плоскости $ABC$.

$F = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$B = (1,0,0)$

$E = (-1,0,0)$

Вектор $\vec{FB} = (3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{FE} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Найдем скалярное произведение $\vec{FB} \cdot \vec{FE}$: $(3/2)(-1/2) + (\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}/2) + (0)(0) = -3/4 + 3/4 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, $\vec{FB} \perp \vec{FE}$. Таким образом, прямая $FE$ лежит в плоскости $ABC$ и перпендикулярна $BF$ в точке $F$.

b) Определение прямой в плоскости $BFE_1$, перпендикулярной $BF$.

Рассмотрим треугольник $BFE_1$. Длины его сторон:

$BF = \sqrt{3}$ (короткая диагональ шестиугольника).

$FE_1 = \sqrt{(-1 - (-1/2))^2 + (0 - (-\sqrt{3}/2))^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

$BE_1 = \sqrt{(-1-1)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.

Проверим, является ли треугольник $BFE_1$ прямоугольным: $BF^2 + FE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3+2=5$. $BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $BF^2 + FE_1^2 = BE_1^2$, треугольник $BFE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$ ($\angle BFE_1 = 90^\circ$).

Таким образом, прямая $FE_1$ лежит в плоскости $BFE_1$ и перпендикулярна линии пересечения $BF$ в точке $F$.

c) Вычисление угла между плоскостями.

Угол между плоскостями $ABC$ и $BFE_1$ — это угол между прямыми $FE$ и $FE_1$, т.е. $\angle EFE_1$.

Рассмотрим треугольник $EFE_1$. Это прямоугольный треугольник, так как $EE_1$ — высота призмы, перпендикулярная плоскости основания $ABC$, а значит, перпендикулярная любой прямой в этой плоскости, включая $FE$.

Стороны прямоугольного треугольника $EFE_1$:

$FE = 1$ (сторона шестиугольника).

$EE_1 = 1$ (высота призмы).

Найдем тангенс угла $\angle EFE_1$:

$\tan(\angle EFE_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{EE_1}{FE} = \frac{1}{1} = 1$.

Следовательно, $\angle EFE_1 = \arctan(1) = 45^\circ$.

Оба метода дают один и тот же результат, что подтверждает правильность решения.

Ответ:

Угол между плоскостями $ABC$ и $BFE_1$ равен $45^\circ$.