Номер 31, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями $AFE_1$ и $BCD_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a=1$.

Найти:

Косинус угла между плоскостями $AFE_1$ и $BCD_1$.

Решение

Для нахождения косинуса угла между плоскостями воспользуемся методом координат. Разместим начало координат $O$ в центре нижнего основания $ABCDEF$. Так как призма правильная и все ребра равны $1$, то сторона основания шестиугольника $s=1$, и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания (координата $z$ увеличена на высоту призмы $h=1$):

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$D_1 = (-1, 0, 1)$

$E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$F_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $AFE_1$.

Точки, принадлежащие плоскости: $A(1,0,0)$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Векторы, лежащие в плоскости:

$\vec{AF} = F - A = (\frac{1}{2}-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{AE_1} = E_1 - A = (-\frac{1}{2}-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ можно найти как векторное произведение $\vec{AF} \times \vec{AE_1}$:

$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \left( (-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \right) - \mathbf{j} \left( (-\frac{1}{2})(1) - 0 \cdot (-\frac{3}{2}) \right) + \mathbf{k} \left( (-\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{3}{2}) \right)$

$\vec{n_1} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{1}{2}\mathbf{j} + (\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4})\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{2\sqrt{3}}{4}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Для упрощения расчетов умножим $\vec{n_1}$ на $-2$: $\vec{n_1}' = (\sqrt{3}, -1, \sqrt{3})$.

Найдем нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $BCD_1$.

Точки, принадлежащие плоскости: $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $D_1(-1, 0, 1)$.

Векторы, лежащие в плоскости:

$\vec{BC} = C - B = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-0) = (-1, 0, 0)$

$\vec{BD_1} = D_1 - B = (-1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ можно найти как векторное произведение $\vec{BC} \times \vec{BD_1}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -\frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} (0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j} ((-1) \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{3}{2})) + \mathbf{k} ((-1) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0 \cdot (-\frac{3}{2}))$

$\vec{n_2} = 0\mathbf{i} - (-1)\mathbf{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{k} = (0, 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Для упрощения расчетов умножим $\vec{n_2}$ на $2$: $\vec{n_2}' = (0, 2, \sqrt{3})$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя плоскостями равен косинусу угла между их нормальными векторами:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}'|}{||\vec{n_1}'|| \cdot ||\vec{n_2}'||}$

Скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = (\sqrt{3})(0) + (-1)(2) + (\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 0 - 2 + 3 = 1$

Модули нормальных векторов:

$||\vec{n_1}'|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 3} = \sqrt{7}$

$||\vec{n_2}'|| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 4 + 3} = \sqrt{7}$

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos(\alpha) = \frac{|1|}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{1}{7}$

Ответ:

Косинус угла между плоскостями $AFE_1$ и $BCD_1$ равен $\frac{1}{7}$.