Номер 3, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$.

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в СИ: Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти: Расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$.

Решение

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Рассмотрим треугольник $BCB_1$.

1. Так как куб является единичным, длина каждого его ребра равна 1. Следовательно, $BC = 1$ и $BB_1 = 1$.

2. Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Отсюда следует, что ребро $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости $ABCD$ и проходящей через точку $B$. В частности, $BB_1 \perp BC$.

3. Таким образом, треугольник $BCB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle CBB_1 = 90^\circ$).

4. Найдем длину гипотенузы $CB_1$ в прямоугольном треугольнике $BCB_1$ по теореме Пифагора:

$CB_1^2 = BC^2 + BB_1^2$

$CB_1^2 = 1^2 + 1^2$

$CB_1^2 = 1 + 1$

$CB_1^2 = 2$

$CB_1 = \sqrt{2}$

5. Пусть $h$ – это высота, опущенная из вершины $B$ на гипотенузу $CB_1$. Эта высота и есть искомое расстояние.

6. Площадь прямоугольного треугольника может быть выражена двумя способами: как половина произведения катетов или как половина произведения гипотенузы на высоту, опущенную на эту гипотенузу.

Площадь $\triangle BCB_1$ через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Площадь $\triangle BCB_1$ через гипотенузу и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot h$.

Приравниваем оба выражения для площади:

$\frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1$

Сокращаем $\frac{1}{2}$:

$CB_1 \cdot h = BC \cdot BB_1$

Выразим $h$:

$h = \frac{BC \cdot BB_1}{CB_1}$

Подставим известные значения:

$h = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{2}}$

$h = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$h = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$

$h = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$