Номер 7, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой $A_1C_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина стороны куба $a = 1$ (условная единица). Поскольку не указаны конкретные единицы измерения, и куб является "единичным", то все расчеты будут выполнены в этих условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется, так как исходные данные не имеют физических размерностей, требующих такого преобразования.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A C_1$, обозначим его как $h$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $BAC_1$. Вычислим длины его сторон, используя тот факт, что длина ребра куба равна $a = 1$.

1. Сторона $AB$ является ребром куба, поэтому ее длина $AB = a = 1$.

2. Сторона $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $BCC_1$ ($BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$):

$BC_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

3. Сторона $AC_1$ является пространственной диагональю куба. Ее длина может быть найдена по формуле $AC_1 = \sqrt{AB^2 + BC^2 + CC_1^2}$ или как диагональ прямоугольного параллелепипеда:

$AC_1 = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Таким образом, мы имеем треугольник $BAC_1$ со сторонами: $AB=1$, $BC_1=\sqrt{2}$, $AC_1=\sqrt{3}$.

Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Если $AB^2 + BC_1^2 = AC_1^2$, то угол между $AB$ и $BC_1$ равен $90^\circ$.

$AB^2 + BC_1^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$.

$AC_1^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Поскольку $AB^2 + BC_1^2 = AC_1^2$, треугольник $BAC_1$ является прямоугольным, и прямой угол находится при вершине $B$. Это означает, что отрезок $AB$ перпендикулярен отрезку $BC_1$. Это логично, так как $AB$ перпендикулярен плоскости $BCC_1B_1$, в которой лежит отрезок $BC_1$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$ - это высота $h$, опущенная из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $AC_1$. В прямоугольном треугольнике площадь может быть выражена двумя способами:

1. Через катеты: $S_{BAC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Через гипотенузу и высоту к ней: $S_{BAC_1} = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot h$.

Приравнивая эти два выражения для площади:

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot h$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$\sqrt{2} = \sqrt{3} \cdot h$

Выразим $h$:

$h = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{6}}{3}$