Номер 4, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой $A_1D_1$.

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Перевод в СИ: Перевод в систему СИ не требуется, так как длина ребра куба задана в условных единицах (единичный куб).

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a=1$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$ определяется как длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $A_1D_1$.

Рассмотрим треугольник $BA_1D_1$, образованный точкой $B$ и концами отрезка $A_1D_1$. Вычислим длины сторон этого треугольника:

Сторона $A_1D_1$ - это ребро куба. По условию, куб единичный, следовательно, $A_1D_1 = a = 1$.

Сторона $BA_1$ - это диагональ грани $ABA_1B_1$. Грани куба являются квадратами, поэтому треугольник $ABA_1$ является прямоугольным с катетами $AB=a$ и $AA_1=a$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABA_1$: $BA_1^2 = AB^2 + AA_1^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Из этого следует, что $BA_1 = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Для единичного куба $BA_1 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Сторона $BD_1$ - это пространственная диагональ куба. Треугольник $BDD_1$ является прямоугольным с катетами $BD$ и $DD_1$. Длина катета $DD_1 = a$. Длина катета $BD$ является диагональю грани $ABCD$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Теперь, используя эти значения, найдем $BD_1$: $BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$. Таким образом, $BD_1 = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. Для единичного куба $BD_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Итак, мы имеем длины всех сторон треугольника $BA_1D_1$: $A_1D_1 = 1$, $BA_1 = \sqrt{2}$, $BD_1 = \sqrt{3}$.

Проверим, является ли треугольник $BA_1D_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Для этого сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом наибольшей стороны:

$A_1D_1^2 + BA_1^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$.

$BD_1^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Так как $A_1D_1^2 + BA_1^2 = BD_1^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $BA_1D_1$ является прямоугольным. Прямой угол находится при вершине, противоположной наибольшей стороне $BD_1$, то есть при вершине $A_1$. Это означает, что отрезок $BA_1$ перпендикулярен прямой $A_1D_1$ ($BA_1 \perp A_1D_1$).

Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$ равно длине перпендикулярного отрезка $BA_1$.

Расстояние $d = BA_1 = \sqrt{2}$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$ равно $\sqrt{2}$.