Номер 10, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$.

11. В правильной треугольной точке $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1. То есть $AB = BC = AC = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Перевод в СИ:

Длины ребер уже даны в безразмерных единицах, которые можно рассматривать как $1$ условная единица длины. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $ABB_1$.

1. По условию задачи, призма является правильной треугольной призмой, и все ее ребра равны 1. Это означает, что длина ребра основания $AB = 1$ и длина бокового ребра $BB_1 = 1$.

2. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, в которой лежит отрезок $AB$. Из этого следует, что $BB_1$ перпендикулярно $AB$ ($BB_1 \perp AB$).

3. Таким образом, треугольник $ABB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

4. Расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$ - это длина высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на гипотенузу $AB_1$ в прямоугольном треугольнике $ABB_1$.

5. Найдем длину гипотенузы $AB_1$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABB_1$:

$\left(AB_1\right)^2 = \left(AB\right)^2 + \left(BB_1\right)^2$

$\left(AB_1\right)^2 = 1^2 + 1^2$

$\left(AB_1\right)^2 = 1 + 1$

$\left(AB_1\right)^2 = 2$

$AB_1 = \sqrt{2}$

6. Площадь прямоугольного треугольника $ABB_1$ может быть выражена двумя способами:

a) Через катеты $AB$ и $BB_1$:

$S_{ABB_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB_1$

$S_{ABB_1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

b) Через гипотенузу $AB_1$ и высоту $BH$, опущенную на нее:

$S_{ABB_1} = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot BH$

7. Приравнивая выражения для площади, мы можем найти $BH$:

$\frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB_1$

$AB_1 \cdot BH = AB \cdot BB_1$

$BH = \frac{AB \cdot BB_1}{AB_1}$

8. Подставим известные значения:

$BH = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{2}}$

$BH = \frac{1}{\sqrt{2}}$

9. Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$BH = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.