Страница 157 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями $AFE_1$ и $BCD_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a=1$.

Найти:

Косинус угла между плоскостями $AFE_1$ и $BCD_1$.

Решение

Для нахождения косинуса угла между плоскостями воспользуемся методом координат. Разместим начало координат $O$ в центре нижнего основания $ABCDEF$. Так как призма правильная и все ребра равны $1$, то сторона основания шестиугольника $s=1$, и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания (координата $z$ увеличена на высоту призмы $h=1$):

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$D_1 = (-1, 0, 1)$

$E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$F_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $AFE_1$.

Точки, принадлежащие плоскости: $A(1,0,0)$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Векторы, лежащие в плоскости:

$\vec{AF} = F - A = (\frac{1}{2}-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{AE_1} = E_1 - A = (-\frac{1}{2}-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ можно найти как векторное произведение $\vec{AF} \times \vec{AE_1}$:

$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \left( (-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \right) - \mathbf{j} \left( (-\frac{1}{2})(1) - 0 \cdot (-\frac{3}{2}) \right) + \mathbf{k} \left( (-\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{3}{2}) \right)$

$\vec{n_1} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{1}{2}\mathbf{j} + (\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4})\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{2\sqrt{3}}{4}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Для упрощения расчетов умножим $\vec{n_1}$ на $-2$: $\vec{n_1}' = (\sqrt{3}, -1, \sqrt{3})$.

Найдем нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $BCD_1$.

Точки, принадлежащие плоскости: $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $D_1(-1, 0, 1)$.

Векторы, лежащие в плоскости:

$\vec{BC} = C - B = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-0) = (-1, 0, 0)$

$\vec{BD_1} = D_1 - B = (-1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ можно найти как векторное произведение $\vec{BC} \times \vec{BD_1}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -\frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} (0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j} ((-1) \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{3}{2})) + \mathbf{k} ((-1) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0 \cdot (-\frac{3}{2}))$

$\vec{n_2} = 0\mathbf{i} - (-1)\mathbf{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{k} = (0, 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Для упрощения расчетов умножим $\vec{n_2}$ на $2$: $\vec{n_2}' = (0, 2, \sqrt{3})$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя плоскостями равен косинусу угла между их нормальными векторами:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}'|}{||\vec{n_1}'|| \cdot ||\vec{n_2}'||}$

Скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = (\sqrt{3})(0) + (-1)(2) + (\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 0 - 2 + 3 = 1$

Модули нормальных векторов:

$||\vec{n_1}'|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 3} = \sqrt{7}$

$||\vec{n_2}'|| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 4 + 3} = \sqrt{7}$

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos(\alpha) = \frac{|1|}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{1}{7}$

Ответ:

Косинус угла между плоскостями $AFE_1$ и $BCD_1$ равен $\frac{1}{7}$.

32. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями $ACB_1$ и $DFE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна $1$.

Найти:

Косинус угла между плоскостями $ACB_1$ и $DFE_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Так как призма правильная, а длина ребра основания равна $1$, то радиус описанной окружности около основания также равен $1$. Высота призмы равна длине бокового ребра, то есть $1$.

Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (z-координата на 1 больше):

$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Для нахождения косинуса угла между плоскостями найдем векторы нормали к каждой плоскости.

Плоскость $ACB_1$:

Возьмем точки $A(1, 0, 0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем векторы, лежащие в этой плоскости:

$\vec{AC} = C - A = (-\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вектор нормали $\vec{n_1}$ к плоскости $ACB_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AB_1}$:

$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0) - \mathbf{j}(-\frac{3}{2} \cdot 1 - 0) + \mathbf{k}(-\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}))$

$\vec{n_1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{3}{2}\mathbf{j} + (-\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4})\mathbf{k} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{2\sqrt{3}}{4}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства вычислений умножим вектор на $2$: $\vec{n_1}' = (\sqrt{3}, 3, -\sqrt{3})$.

Плоскость $DFE_1$:

Возьмем точки $D(-1, 0, 0)$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем векторы, лежащие в этой плоскости:

$\vec{DF} = F - D = (\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{DE_1} = E_1 - D = (-\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вектор нормали $\vec{n_2}$ к плоскости $DFE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DF} \times \vec{DE_1}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0) - \mathbf{j}(\frac{3}{2} \cdot 1 - 0) + \mathbf{k}(\frac{3}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{1}{2})$

$\vec{n_2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} - \frac{3}{2}\mathbf{j} + (-\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4})\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{2\sqrt{3}}{4}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства вычислений умножим вектор на $-2$: $\vec{n_2}' = (\sqrt{3}, 3, \sqrt{3})$.

Косинус угла $\theta$ между двумя плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}'|}{|\vec{n_1}'| |\vec{n_2}'|}$

Скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = (\sqrt{3})(\sqrt{3}) + (3)(3) + (-\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 3 + 9 - 3 = 9$

Модули векторов:

$|\vec{n_1}'| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 9 + 3} = \sqrt{15}$

$|\vec{n_2}'| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 9 + 3} = \sqrt{15}$

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos \theta = \frac{|9|}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

Ответ:

$\frac{3}{5}$

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями $BCC_1$ и $AFE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:

Косинус угла между плоскостями $BCC_1$ и $AFE_1$, $\cos \theta$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат.

Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Ось $z$ направим вдоль бокового ребра (высоты призмы). Вершину $A$ нижнего основания расположим на оси $x$.

Поскольку призма правильная и длина всех ребер равна 1, сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ при $a=1$:

$A = (1, 0, 0)$, $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D = (-1, 0, 0)$, $E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Координаты необходимых вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (z-координата равна $h=1$):

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$, $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

1. Нахождение нормального вектора к плоскости $BCC_1$:

Плоскость $BCC_1$ содержит точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Заметим, что все точки, лежащие в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$, имеют одинаковую $y$-координату, равную $\sqrt{3}/2$. (Например, $B_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$, $C_1=(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$). Это означает, что уравнение плоскости $BCC_1$ есть $y = \sqrt{3}/2$.

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к этой плоскости параллелен оси $y$. В качестве нормального вектора можно взять $\vec{n_1} = (0, 1, 0)$.

Его длина (модуль): $||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

2. Нахождение нормального вектора к плоскости $AFE_1$:

Плоскость $AFE_1$ содержит точки $A(1, 0, 0)$, $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{AF} = F - A = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$\vec{AE_1} = E_1 - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $AFE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AF} \times \vec{AE_1}$:

$\vec{n_2} = \vec{AF} \times \vec{AE_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$x$-компонента: $(-\sqrt{3}/2) \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3}/2) = -\sqrt{3}/2$

$y$-компонента: $-[(-1/2) \cdot 1 - 0 \cdot (-3/2)] = -(-1/2) = 1/2$

$z$-компонента: $(-1/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) - (-\sqrt{3}/2) \cdot (-3/2) = \sqrt{3}/4 - 3\sqrt{3}/4 = -2\sqrt{3}/4 = -\sqrt{3}/2$

Таким образом, $\vec{n_2} = (-\sqrt{3}/2, 1/2, -\sqrt{3}/2)$.

Для удобства вычислений можно умножить вектор на скаляр 2, получим сонаправленный нормальный вектор $\vec{n_2}' = (-\sqrt{3}, 1, -\sqrt{3})$.

Его длина (модуль): $||\vec{n_2}'|| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 3} = \sqrt{7}$.

3. Нахождение косинуса угла между плоскостями:

Косинус угла $\theta$ между двумя плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами. Формула для косинуса угла между векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}'$:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}'|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}'||}$

Скалярное произведение $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}' = (0)(-\sqrt{3}) + (1)(1) + (0)(-\sqrt{3}) = 0 + 1 + 0 = 1$.

Подставляем значения в формулу:

$\cos \theta = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{7}$

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой $AC$.

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Все величины уже в безразмерных единицах.

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC$.

Рассмотрим основание куба — квадрат $ABCD$.

Длина стороны квадрата $AB = BC = 1$, так как куб единичный.

Треугольник $ABC$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $B$ ($ \angle ABC = 90^\circ $).

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ — это длина высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на гипотенузу $AC$ в треугольнике $ABC$.

Найдем длину гипотенузы $AC$ по теореме Пифагора в треугольнике $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AC = \sqrt{2}$

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ можно найти двумя способами:

1. Как половина произведения катетов: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2. Как половина произведения основания на высоту: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.

Приравниваем выражения для площади:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$

$1 = AC \cdot BH$

Подставим значение $AC = \sqrt{2}$:

$1 = \sqrt{2} \cdot BH$

$BH = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$BH = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A B_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$.

Решение:

Рассмотрим грань куба $ABB_1A_1$. Эта грань является квадратом, так как это единичный куб, то длина его ребра равна 1. Следовательно, стороны квадрата $AB$ и $BB_1$ равны 1.

Прямая $AB_1$ является диагональю этого квадрата, а точка $B$ – его вершина.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Этот треугольник является прямоугольным, поскольку ребра куба $AB$ и $BB_1$ перпендикулярны. Угол $\angle ABB_1 = 90^\circ$.

Длины катетов треугольника $ABB_1$ равны:
$AB = a = 1$
$BB_1 = a = 1$

Длина гипотенузы $AB_1$ (которая является диагональю грани) может быть найдена по теореме Пифагора:
$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2}$
$AB_1 = \sqrt{1^2 + 1^2}$
$AB_1 = \sqrt{1 + 1}$
$AB_1 = \sqrt{2}$

Расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$ – это длина высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на гипотенузу $AB_1$ в прямоугольном треугольнике $ABB_1$.

Площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена двумя способами:
1. Половина произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \times AB \times BB_1$
2. Половина произведения гипотенузы на высоту, опущенную на эту гипотенузу: $S = \frac{1}{2} \times AB_1 \times BH$

Приравняем эти выражения для площади треугольника $ABB_1$:
$\frac{1}{2} \times AB \times BB_1 = \frac{1}{2} \times AB_1 \times BH$
$AB \times BB_1 = AB_1 \times BH$

Подставим известные значения:
$1 \times 1 = \sqrt{2} \times BH$
$1 = \sqrt{2} \times BH$

Выразим $BH$ (искомое расстояние):
$BH = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$BH = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$
$BH = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ:
Расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$ составляет $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$.

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в СИ: Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти: Расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$.

Решение

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Рассмотрим треугольник $BCB_1$.

1. Так как куб является единичным, длина каждого его ребра равна 1. Следовательно, $BC = 1$ и $BB_1 = 1$.

2. Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Отсюда следует, что ребро $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости $ABCD$ и проходящей через точку $B$. В частности, $BB_1 \perp BC$.

3. Таким образом, треугольник $BCB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle CBB_1 = 90^\circ$).

4. Найдем длину гипотенузы $CB_1$ в прямоугольном треугольнике $BCB_1$ по теореме Пифагора:

$CB_1^2 = BC^2 + BB_1^2$

$CB_1^2 = 1^2 + 1^2$

$CB_1^2 = 1 + 1$

$CB_1^2 = 2$

$CB_1 = \sqrt{2}$

5. Пусть $h$ – это высота, опущенная из вершины $B$ на гипотенузу $CB_1$. Эта высота и есть искомое расстояние.

6. Площадь прямоугольного треугольника может быть выражена двумя способами: как половина произведения катетов или как половина произведения гипотенузы на высоту, опущенную на эту гипотенузу.

Площадь $\triangle BCB_1$ через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Площадь $\triangle BCB_1$ через гипотенузу и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot h$.

Приравниваем оба выражения для площади:

$\frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1$

Сокращаем $\frac{1}{2}$:

$CB_1 \cdot h = BC \cdot BB_1$

Выразим $h$:

$h = \frac{BC \cdot BB_1}{CB_1}$

Подставим известные значения:

$h = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{2}}$

$h = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$h = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$

$h = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

4. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой $A_1D_1$.

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Перевод в СИ: Перевод в систему СИ не требуется, так как длина ребра куба задана в условных единицах (единичный куб).

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a=1$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$ определяется как длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $A_1D_1$.

Рассмотрим треугольник $BA_1D_1$, образованный точкой $B$ и концами отрезка $A_1D_1$. Вычислим длины сторон этого треугольника:

Сторона $A_1D_1$ - это ребро куба. По условию, куб единичный, следовательно, $A_1D_1 = a = 1$.

Сторона $BA_1$ - это диагональ грани $ABA_1B_1$. Грани куба являются квадратами, поэтому треугольник $ABA_1$ является прямоугольным с катетами $AB=a$ и $AA_1=a$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABA_1$: $BA_1^2 = AB^2 + AA_1^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Из этого следует, что $BA_1 = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Для единичного куба $BA_1 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Сторона $BD_1$ - это пространственная диагональ куба. Треугольник $BDD_1$ является прямоугольным с катетами $BD$ и $DD_1$. Длина катета $DD_1 = a$. Длина катета $BD$ является диагональю грани $ABCD$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Теперь, используя эти значения, найдем $BD_1$: $BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$. Таким образом, $BD_1 = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. Для единичного куба $BD_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Итак, мы имеем длины всех сторон треугольника $BA_1D_1$: $A_1D_1 = 1$, $BA_1 = \sqrt{2}$, $BD_1 = \sqrt{3}$.

Проверим, является ли треугольник $BA_1D_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Для этого сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом наибольшей стороны:

$A_1D_1^2 + BA_1^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$.

$BD_1^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Так как $A_1D_1^2 + BA_1^2 = BD_1^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $BA_1D_1$ является прямоугольным. Прямой угол находится при вершине, противоположной наибольшей стороне $BD_1$, то есть при вершине $A_1$. Это означает, что отрезок $BA_1$ перпендикулярен прямой $A_1D_1$ ($BA_1 \perp A_1D_1$).

Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$ равно длине перпендикулярного отрезка $BA_1$.

Расстояние $d = BA_1 = \sqrt{2}$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$ равно $\sqrt{2}$.

5. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $C_1D_1$.

6. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $C_1D_1$.

Решение

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $C_1D_1$ воспользуемся геометрическими свойствами куба.

Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. Это боковая грань куба, которая является квадратом со стороной, равной ребру куба, то есть $1$.

Прямая $C_1D_1$ является ребром верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

Заметим, что прямая $C_1D_1$ перпендикулярна прямой $CC_1$, так как они являются смежными сторонами квадрата $CC_1D_1D$.

Также прямая $C_1D_1$ перпендикулярна прямой $B_1C_1$, так как они являются смежными сторонами квадрата $A_1B_1C_1D_1$.

Прямые $CC_1$ и $B_1C_1$ пересекаются в точке $C_1$ и лежат в одной плоскости (плоскости грани $BCC_1B_1$).

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна всей этой плоскости. Таким образом, прямая $C_1D_1$ перпендикулярна плоскости грани $BCC_1B_1$.

Поскольку прямая $C_1D_1$ перпендикулярна плоскости $BCC_1B_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $C_1$.

Отрезок $BC_1$ лежит в плоскости $BCC_1B_1$ и проходит через точку $C_1$. Следовательно, отрезок $BC_1$ перпендикулярен прямой $C_1D_1$.

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. В нашем случае, это длина отрезка $BC_1$.

Отрезок $BC_1$ является диагональю квадрата $BCC_1B_1$. Стороны этого квадрата равны $BC=1$ и $CC_1=1$.

По теореме Пифагора, длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. В данном случае $a=1$, поэтому:

$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2}$

$BC_1 = \sqrt{1^2 + 1^2}$

$BC_1 = \sqrt{1 + 1}$

$BC_1 = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

6. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $DD_1$.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки B до прямой $DD_1$.

Решение

Геометрический анализ: Прямая $DD_1$ является ребром куба. Плоскость основания $ABCD$ перпендикулярна ребру $DD_1$ (так как все грани куба являются квадратами и соседние грани перпендикулярны друг другу).

Определение перпендикуляра: Поскольку плоскость $ABCD$ перпендикулярна прямой $DD_1$ и проходит через точку D, то любая прямая, лежащая в плоскости $ABCD$ и проходящая через точку D, будет перпендикулярна прямой $DD_1$.

Построение расстояния: Точка B лежит в плоскости $ABCD$. Отрезок BD соединяет точку B с точкой D на прямой $DD_1$. Поскольку отрезок BD лежит в плоскости $ABCD$ и проходит через точку D, то он перпендикулярен прямой $DD_1$ (то есть $BD \perp DD_1$). Следовательно, длина отрезка BD является расстоянием от точки B до прямой $DD_1$.

Вычисление длины BD: Грани куба являются квадратами. Грань $ABCD$ — это квадрат со стороной $a=1$. Отрезок BD является диагональю этого квадрата. В прямоугольном треугольнике $ABD$ (угол $A = 90^\circ$), по теореме Пифагора:

$BD^2 = AB^2 + AD^2$

Поскольку $AB=a=1$ и $AD=a=1$:

$BD^2 = 1^2 + 1^2$

$BD^2 = 1 + 1$

$BD^2 = 2$

$BD = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

7. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой $A_1C_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина стороны куба $a = 1$ (условная единица). Поскольку не указаны конкретные единицы измерения, и куб является "единичным", то все расчеты будут выполнены в этих условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется, так как исходные данные не имеют физических размерностей, требующих такого преобразования.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A C_1$, обозначим его как $h$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $BAC_1$. Вычислим длины его сторон, используя тот факт, что длина ребра куба равна $a = 1$.

1. Сторона $AB$ является ребром куба, поэтому ее длина $AB = a = 1$.

2. Сторона $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $BCC_1$ ($BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$):

$BC_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

3. Сторона $AC_1$ является пространственной диагональю куба. Ее длина может быть найдена по формуле $AC_1 = \sqrt{AB^2 + BC^2 + CC_1^2}$ или как диагональ прямоугольного параллелепипеда:

$AC_1 = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Таким образом, мы имеем треугольник $BAC_1$ со сторонами: $AB=1$, $BC_1=\sqrt{2}$, $AC_1=\sqrt{3}$.

Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Если $AB^2 + BC_1^2 = AC_1^2$, то угол между $AB$ и $BC_1$ равен $90^\circ$.

$AB^2 + BC_1^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$.

$AC_1^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Поскольку $AB^2 + BC_1^2 = AC_1^2$, треугольник $BAC_1$ является прямоугольным, и прямой угол находится при вершине $B$. Это означает, что отрезок $AB$ перпендикулярен отрезку $BC_1$. Это логично, так как $AB$ перпендикулярен плоскости $BCC_1B_1$, в которой лежит отрезок $BC_1$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$ - это высота $h$, опущенная из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $AC_1$. В прямоугольном треугольнике площадь может быть выражена двумя способами:

1. Через катеты: $S_{BAC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Через гипотенузу и высоту к ней: $S_{BAC_1} = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot h$.

Приравнивая эти два выражения для площади:

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot h$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$\sqrt{2} = \sqrt{3} \cdot h$

Выразим $h$:

$h = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

8. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой $DA_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает, что длина его ребра $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $DA_1$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $BDA_1$. Для определения расстояния от точки $B$ до прямой $DA_1$, которое является высотой этого треугольника, опущенной из вершины $B$ на сторону $DA_1$, найдем длины всех его сторон.

1. Сторона $BD$ является диагональю нижней грани куба, квадрата $ABCD$, со стороной $a=1$. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $BAD$ ($AD \perp AB$):

$BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

2. Сторона $BA_1$ является диагональю боковой грани куба, квадрата $ABA_1B_1$, со стороной $a=1$. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABA_1$ ($AB \perp AA_1$):

$BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

3. Сторона $DA_1$ является диагональю боковой грани куба, квадрата $ADA_1D_1$, со стороной $a=1$. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ADA_1$ ($AD \perp AA_1$):

$DA_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Таким образом, все три стороны треугольника $BDA_1$ равны $\sqrt{2}$. Следовательно, треугольник $BDA_1$ является равносторонним со стороной $s = \sqrt{2}$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $DA_1$ есть высота $h$ равностороннего треугольника $BDA_1$, опущенная из вершины $B$ на сторону $DA_1$. Формула для высоты равностороннего треугольника со стороной $s$:

$h = s \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значение $s = \sqrt{2}$:

$h = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

9. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой $DC_1$.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a=1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $DC_1$.

Решение

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $DC_1$ рассмотрим треугольник $BDC_1$.

1. Вычислим длины сторон этого треугольника:

• Сторона $BD$ является диагональю грани $ABCD$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BAD$ ($AB=AD=a=1$):
  $BD^2 = AB^2 + AD^2$
  $BD^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
  $BD = \sqrt{2}$

• Сторона $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$ ($BC=CC_1=a=1$):
  $BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$
  $BC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
  $BC_1 = \sqrt{2}$

• Сторона $DC_1$ является диагональю грани $DCC_1D_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $DCC_1$ ($DC=CC_1=a=1$):
  $DC_1^2 = DC^2 + CC_1^2$
  $DC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
  $DC_1 = \sqrt{2}$

2. Так как все стороны треугольника $BDC_1$ равны $\sqrt{2}$, то треугольник $BDC_1$ является равносторонним.

3. Расстояние от точки $B$ до прямой $DC_1$ – это длина высоты $h$, опущенной из вершины $B$ на сторону $DC_1$ в равностороннем треугольнике $BDC_1$.

Формула для высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $s$ равна $h = \frac{s\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае, сторона $s = \sqrt{2}$.

Подставляем значение $s$ в формулу:
$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $DC_1$ равно $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

10. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$.

11. В правильной треугольной точке $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1. То есть $AB = BC = AC = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Перевод в СИ:

Длины ребер уже даны в безразмерных единицах, которые можно рассматривать как $1$ условная единица длины. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $ABB_1$.

1. По условию задачи, призма является правильной треугольной призмой, и все ее ребра равны 1. Это означает, что длина ребра основания $AB = 1$ и длина бокового ребра $BB_1 = 1$.

2. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, в которой лежит отрезок $AB$. Из этого следует, что $BB_1$ перпендикулярно $AB$ ($BB_1 \perp AB$).

3. Таким образом, треугольник $ABB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

4. Расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$ - это длина высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на гипотенузу $AB_1$ в прямоугольном треугольнике $ABB_1$.

5. Найдем длину гипотенузы $AB_1$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABB_1$:

$\left(AB_1\right)^2 = \left(AB\right)^2 + \left(BB_1\right)^2$

$\left(AB_1\right)^2 = 1^2 + 1^2$

$\left(AB_1\right)^2 = 1 + 1$

$\left(AB_1\right)^2 = 2$

$AB_1 = \sqrt{2}$

6. Площадь прямоугольного треугольника $ABB_1$ может быть выражена двумя способами:

a) Через катеты $AB$ и $BB_1$:

$S_{ABB_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB_1$

$S_{ABB_1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

b) Через гипотенузу $AB_1$ и высоту $BH$, опущенную на нее:

$S_{ABB_1} = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot BH$

7. Приравнивая выражения для площади, мы можем найти $BH$:

$\frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB_1$

$AB_1 \cdot BH = AB \cdot BB_1$

$BH = \frac{AB \cdot BB_1}{AB_1}$

8. Подставим известные значения:

$BH = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{2}}$

$BH = \frac{1}{\sqrt{2}}$

9. Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$BH = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

11. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$.

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Все ребра равны 1. То есть $AB = BC = AC = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$.

Решение

Рассмотрим боковую грань $BB_1C_1C$. Поскольку призма является правильной, ее боковые грани - это прямоугольники. Следовательно, четырехугольник $BB_1C_1C$ является прямоугольником.

В прямоугольнике $BB_1C_1C$ ребра $BC$ и $BB_1$ перпендикулярны: $BC \perp BB_1$.
Таким образом, треугольник $BCB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Длины катетов треугольника $BCB_1$:
$BC = 1$ (ребро основания)
$BB_1 = 1$ (боковое ребро)

Найдем длину гипотенузы $CB_1$ по теореме Пифагора:
$CB_1^2 = BC^2 + BB_1^2$
$CB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
$CB_1 = \sqrt{2}$

Расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$ - это длина высоты, опущенной из вершины $B$ на гипотенузу $CB_1$. Обозначим эту высоту как $h$.

Площадь прямоугольного треугольника может быть выражена двумя способами:
1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1$
2. Через гипотенузу и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot h$

Приравняем эти выражения для площади:
$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot h$

Подставим известные значения:
$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h$
$1 = \sqrt{2} \cdot h$

Выразим $h$:
$h = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$h = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

12. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A_1C_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1C_1$.

Решение:

1. Поскольку призма является правильной треугольной, ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ - равносторонние треугольники, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Все ребра призмы равны 1.

Это означает, что длина каждого ребра призмы, включая стороны оснований и боковые ребра, равна 1. То есть, $AB = BC = CA = A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1 = 1$, и высота призмы $BB_1 = 1$.

2. Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $A_1C_1$ необходимо построить перпендикуляр из точки $B$ к прямой $A_1C_1$ и найти его длину.

3. Рассмотрим основание $A_1B_1C_1$. Пусть $M$ - середина ребра $A_1C_1$. Так как треугольник $A_1B_1C_1$ является равносторонним, отрезок $B_1M$ является его высотой (и медианой), проведенной к $A_1C_1$. Следовательно, $B_1M \perp A_1C_1$.

4. Длина высоты $B_1M$ равностороннего треугольника со стороной $a=1$ вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $B_1M = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

5. Так как призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1$. Из этого следует, что $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе $BB_1 \perp A_1C_1$.

6. Мы имеем, что прямая $A_1C_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $B_1M$ (пункт 3) и $BB_1$ (пункт 5), которые лежат в плоскости $BB_1M$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $A_1C_1$ перпендикулярна плоскости $BB_1M$.

7. Поскольку прямая $A_1C_1$ перпендикулярна плоскости $BB_1M$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и пересекающей $A_1C_1$. В частности, прямая $A_1C_1$ перпендикулярна отрезку $BM$.

8. Таким образом, искомое расстояние от точки $B$ до прямой $A_1C_1$ равно длине отрезка $BM$.

9. Рассмотрим треугольник $BB_1M$. Он является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$, так как $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания, содержащей $B_1M$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BB_1M$: $BM^2 = BB_1^2 + B_1M^2$

Подставим известные значения $BB_1 = 1$ и $B_1M = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $BM^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$ $BM^2 = 1 + \frac{3}{4}$ $BM^2 = \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$ $BM^2 = \frac{7}{4}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $BM$: $BM = \sqrt{\frac{7}{4}}$ $BM = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$ $BM = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{7}}{2}$

13. В тетраэдре $ABCD$, все ребра которого равны $1$, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CD$.

Дано:

Тетраэдр $ABCD$.

Все ребра равны $1$, то есть $AB = AC = AD = BC = BD = CD = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CD$.

Решение:

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Так как все ребра тетраэдра равны $1$, то $BC = 1$, $BD = 1$, $CD = 1$.

Следовательно, треугольник $BCD$ является равносторонним со стороной, равной $1$.

Для того чтобы найти расстояние от точки $B$ до прямой $CD$, нам нужно найти высоту треугольника $BCD$, проведенную из вершины $B$ к стороне $CD$.

Обозначим эту высоту как $h_B$. В равностороннем треугольнике со стороной $a$ высота $h$ вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае, сторона $a = 1$.

Таким образом, $h_B = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

14. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $S$ до прямой $BC$.

Дано

$SABCD$ - правильная четырехугольная пирамида.

Все ребра пирамиды равны 1.

То есть, $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Перевод в СИ

Длины ребер даны в безразмерных единицах, считаем их как 1 условную единицу длины.

Найти

Расстояние от точки $S$ до прямой $BC$.

Решение

Расстояние от точки $S$ до прямой $BC$ - это длина перпендикуляра, опущенного из точки $S$ на прямую $BC$.

Рассмотрим боковую грань $SBC$ пирамиды $SABCD$. Это треугольник.

По условию задачи, все ребра пирамиды равны 1. Следовательно, длины сторон треугольника $SBC$ таковы:

$SB = 1$ (боковое ребро)

$SC = 1$ (боковое ребро)

$BC = 1$ (ребро основания)

Поскольку $SB = SC = BC = 1$, треугольник $SBC$ является равносторонним треугольником со стороной, равной 1.

Расстояние от точки $S$ до прямой $BC$ в равностороннем треугольнике $SBC$ - это высота, опущенная из вершины $S$ на сторону $BC$. Обозначим эту высоту как $SH$, где $H$ - точка на $BC$.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$, высота $h$ вычисляется по формуле:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

В нашем случае сторона равностороннего треугольника $a = 1$. Подставим это значение в формулу высоты:

$SH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ

$\frac{\sqrt{3}}{2}$