Страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

30. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $DC_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $DC_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $DC_1$ рассмотрим треугольник $BDC_1$. Расстояние будет являться длиной высоты этого треугольника, опущенной из вершины $B$ на сторону $DC_1$. Для этого найдем длины всех сторон треугольника $BDC_1$.

1. Длина ребра $DC_1$:

Ребро $DC_1$ является диагональю грани $DCC_1D_1$. Поскольку призма правильная и все её ребра равны 1, то $CD = 1$ (сторона основания) и $CC_1 = 1$ (боковое ребро). Следовательно, грань $DCC_1D_1$ является квадратом со стороной 1.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $DCC_1$:

$DC_1 = \sqrt{CD^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

2. Длина ребра $BC_1$:

Ребро $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. Аналогично, $BC = 1$ и $BB_1 = 1$. Следовательно, грань $BCC_1B_1$ является квадратом со стороной 1.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$:

$BC_1 = \sqrt{BC^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

3. Длина ребра $BD$:

Ребро $BD$ является диагональю основания $ABCDEF$. Основание - правильный шестиугольник со стороной 1. Рассмотрим треугольник $BCD$. Это равнобедренный треугольник, так как $BC = CD = 1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $ (6-2) \times 180^\circ / 6 = 4 \times 180^\circ / 6 = 120^\circ $. Следовательно, $\angle BCD = 120^\circ$.

По теореме косинусов для треугольника $BCD$:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

$BD^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-1/2)$

$BD^2 = 2 + 1 = 3$

$BD = \sqrt{3}$.

Таким образом, треугольник $BDC_1$ имеет стороны: $BC_1 = \sqrt{2}$, $DC_1 = \sqrt{2}$, $BD = \sqrt{3}$.

Заметим, что треугольник $BDC_1$ является равнобедренным, так как $BC_1 = DC_1 = \sqrt{2}$. Пусть $h$ - искомая высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $DC_1$. Пусть $K$ - основание этой высоты на отрезке $DC_1$.

В прямоугольном треугольнике $BKC_1$ (с прямым углом при $K$): $BK^2 + KC_1^2 = BC_1^2$.

В прямоугольном треугольнике $BKD$ (с прямым углом при $K$): $BK^2 + DK^2 = BD^2$.

Пусть $KC_1 = x$. Тогда $DK = DC_1 - x = \sqrt{2} - x$.

Из первого уравнения выразим $BK^2$: $BK^2 = BC_1^2 - KC_1^2 = (\sqrt{2})^2 - x^2 = 2 - x^2$.

Из второго уравнения выразим $BK^2$: $BK^2 = BD^2 - DK^2 = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2} - x)^2 = 3 - (2 - 2\sqrt{2}x + x^2) = 3 - 2 + 2\sqrt{2}x - x^2 = 1 + 2\sqrt{2}x - x^2$.

Приравняем два выражения для $BK^2$:

$2 - x^2 = 1 + 2\sqrt{2}x - x^2$

$2 = 1 + 2\sqrt{2}x$

$1 = 2\sqrt{2}x$

$x = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Теперь найдем $BK$ (искомую высоту $h$) из выражения для $BK^2$:

$h^2 = BK^2 = 2 - x^2 = 2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = 2 - \frac{2}{16} = 2 - \frac{1}{8} = \frac{16 - 1}{8} = \frac{15}{8}$.

$h = \sqrt{\frac{15}{8}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{2}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$h = \frac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{30}}{4}$.

1. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Точка $B$.

Плоскость $ACB_1$.

Перевод в СИ

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$.

Решение

Введем декартову систему координат с началом в точке $A=(0,0,0)$. Оси $x, y, z$ направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

Координаты необходимых вершин будут:

• $A = (0,0,0)$

• $B = (1,0,0)$

• $C = (1,1,0)$ (поскольку $ABCD$ - квадрат на плоскости $z=0$)

• $B_1 = (1,0,1)$ (поскольку $B_1$ находится над $B$ на высоте 1)

Найдем уравнение плоскости $ACB_1$. Для этого нам нужны два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, и одна точка в плоскости. Возьмем векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$:

• Вектор $\vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0)$

• Вектор $\vec{AB_1} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $ACB_1$ можно найти как векторное произведение этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = 1\vec{i} - 1\vec{j} - 1\vec{k} = (1,-1,-1)$

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя компоненты нормального вектора $\vec{n}=(1,-1,-1)$, получаем $1x - 1y - 1z + D = 0$, или $x - y - z + D = 0$.

Чтобы найти $D$, подставим координаты любой точки, лежащей в плоскости, например, $A=(0,0,0)$:

$0 - 0 - 0 + D = 0 \implies D = 0$

Таким образом, уравнение плоскости $ACB_1$ есть $x - y - z = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B=(1,0,0)$ до плоскости $x - y - z = 0$. Формула для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ выглядит так:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае, точка $B=(x_0, y_0, z_0) = (1,0,0)$, а уравнение плоскости $ACB_1$ имеет коэффициенты $A=1, B=-1, C=-1, D=0$.

Подставим эти значения в формулу:

$d = \frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|1 + 0 + 0 + 0|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DA_1 C_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения не требуются, так как результат будет безразмерным.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DA_1C_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$. Ось $Dx$ направим вдоль $DA$, ось $Dy$ вдоль $DC$, ось $Dz$ вдоль $DD_1$.

Координаты вершин куба (для ребра $a=1$):
$D = (0,0,0)$
$A = (1,0,0)$
$B = (1,1,0)$
$C = (0,1,0)$
$D_1 = (0,0,1)$
$A_1 = (1,0,1)$
$B_1 = (1,1,1)$
$C_1 = (0,1,1)$

Требуется найти расстояние от точки $B(1,1,0)$ до плоскости $DA_1C_1$.

Найдем уравнение плоскости $DA_1C_1$. Точки, лежащие в плоскости: $D(0,0,0)$, $A_1(1,0,1)$, $C_1(0,1,1)$.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_p = 0$.

Поскольку плоскость проходит через начало координат $D(0,0,0)$, то $A(0) + B(0) + C(0) + D_p = 0$, следовательно $D_p = 0$.

Уравнение плоскости примет вид $Ax + By + Cz = 0$.

Используем координаты точек $A_1$ и $C_1$:
Для $A_1(1,0,1)$: $A(1) + B(0) + C(1) = 0 \Rightarrow A + C = 0 \Rightarrow C = -A$.
Для $C_1(0,1,1)$: $A(0) + B(1) + C(1) = 0 \Rightarrow B + C = 0 \Rightarrow B = -C$.

Из полученных соотношений следует, что $B = -C = -(-A) = A$.

Примем $A=1$, тогда $B=1$ и $C=-1$.

Уравнение плоскости $DA_1C_1$ имеет вид $x + y - z = 0$.

Расстояние от точки $P(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_p = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_p|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для точки $B(1,1,0)$ и плоскости $x + y - z = 0$ (где $A=1, B=1, C=-1, D_p=0$):
$d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{|1 + 1 - 0|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$
$d = \frac{|2|}{\sqrt{3}}$
$d = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$d = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DA_1C_1$ равно $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACD_1$.

4. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки B до плоскости $ACD_1$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат.

Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина A находилась в начале координат $(0,0,0)$, а ребра AB, AD, $AA_1$ лежали вдоль положительных полуосей Ox, Oy, Oz соответственно.

Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1. Тогда координаты необходимых вершин будут:

• Точка A: $(0,0,0)$
• Точка B: $(1,0,0)$ (поскольку AB лежит вдоль Ox)
• Точка C: $(1,1,0)$ (поскольку AD вдоль Oy, BC параллельно AD)
• Точка $D_1$: $(0,1,1)$ (поскольку $D$ на Oy, $D_1$ над D по Oz)

Сначала найдем уравнение плоскости $ACD_1$. Плоскость проходит через точки A$(0,0,0)$, C$(1,1,0)$ и $D_1(0,1,1)$.

Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости, исходящие из одной точки (например, A):

• Вектор $\vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0)$
• Вектор $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, 1-0, 1-0) = (0,1,1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $ACD_1$ можно найти как векторное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD_1}$:

$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = (1, -1, 1)$.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставив компоненты нормального вектора, получаем $1x - 1y + 1z + D = 0$, или $x - y + z + D = 0$.

Поскольку плоскость проходит через точку A$(0,0,0)$, подставим ее координаты в уравнение для нахождения D:

$0 - 0 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = 0$.

Таким образом, уравнение плоскости $ACD_1$ есть $x - y + z = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки B$(1,0,0)$ до плоскости $x - y + z = 0$.

Формула расстояния $d$ от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ имеет вид:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае, $(x_0, y_0, z_0) = (1,0,0)$ и уравнение плоскости $1x - 1y + 1z + 0 = 0$, где $A=1, B=-1, C=1, D=0$.

$d = \frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|1 + 0 + 0 + 0|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$

$d = \frac{|1|}{\sqrt{3}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Расстояние от точки B до плоскости $ACD_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1D_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Перевод данных в систему СИ:

Длина ребра куба $a = 1 \text{ м}$ (для данной задачи перевод в конкретные единицы СИ не влияет на численное значение расстояния, так как задача безразмерная).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1D_1$.

Решение:

Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в точке $A$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$, а ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

Координаты необходимых вершин куба будут:

$A = (0,0,0)$

$B = (1,0,0)$

$B_1 = (1,0,1)$

$D_1 = (0,1,1)$

Для определения уравнения плоскости $AB_1D_1$ найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, исходящие из общей точки $A$:

Вектор $\vec{AB_1}$: $B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$.

Вектор $\vec{AD_1}$: $D_1 - A = (0-0, 1-0, 1-0) = (0,1,1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $AB_1D_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB_1} \times \vec{AD_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = -1\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-1,-1,1)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_0, y_0, z_0)$ с нормальным вектором $(A,B,C)$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

Используем точку $A(0,0,0)$ и нормальный вектор $\vec{n} = (-1,-1,1)$:

$-1(x-0) - 1(y-0) + 1(z-0) = 0$

$-x - y + z = 0$

Умножив уравнение на $-1$, получим более привычный вид: $x + y - z = 0$.

Теперь найдем расстояние $d$ от точки $B(1,0,0)$ до плоскости $x + y - z = 0$. Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ задается как:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае: точка $B(1,0,0)$, следовательно $x_0=1, y_0=0, z_0=0$. Уравнение плоскости $x+y-z=0$, следовательно $A=1, B=1, C=-1, D=0$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|1 + 0 + 0 + 0|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$

$d = \frac{|1|}{\sqrt{3}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1D_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

5. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CB_1D_1$.

6. В единичном тетраэдре $ABCD$ найдите расстояние от точки $D$ по

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Точка $B$.

Плоскость $CB_1D_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (безразмерная величина, так как единица измерения не указана).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CB_1D_1$.

Решение:

1.Введение системы координат: Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Оси координат направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$. Поскольку куб единичный, длина каждого ребра равна 1. Тогда координаты вершин будут следующими:

$A=(0,0,0)$
$B=(1,0,0)$
$C=(1,1,0)$
$D=(0,1,0)$
$A_1=(0,0,1)$
$B_1=(1,0,1)$
$C_1=(1,1,1)$
$D_1=(0,1,1)$

2.Определение координат точки и плоскости: Нам нужно найти расстояние от точки $B(1,0,0)$ до плоскости, проходящей через точки $C(1,1,0)$, $B_1(1,0,1)$ и $D_1(0,1,1)$.

3.Нахождение уравнения плоскости $CB_1D_1$: Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Чтобы найти коэффициенты $A, B, C, D$, подставим координаты трех точек $C$, $B_1$, $D_1$ в это уравнение:

Для $C(1,1,0): A(1) + B(1) + C(0) + D = 0 \Rightarrow A + B + D = 0 \quad (1)$
Для $B_1(1,0,1): A(1) + B(0) + C(1) + D = 0 \Rightarrow A + C + D = 0 \quad (2)$
Для $D_1(0,1,1): A(0) + B(1) + C(1) + D = 0 \Rightarrow B + C + D = 0 \quad (3)$

Вычтем уравнение (2) из (1): $(A+B+D) - (A+C+D) = 0 \Rightarrow B-C = 0 \Rightarrow B=C$.
Вычтем уравнение (3) из (2): $(A+C+D) - (B+C+D) = 0 \Rightarrow A-B = 0 \Rightarrow A=B$.
Таким образом, мы получаем, что $A=B=C$.
Подставим $A=B$ в уравнение (1): $A+A+D = 0 \Rightarrow 2A+D = 0 \Rightarrow D = -2A$.
Для простоты выберем $A=1$. Тогда $B=1$, $C=1$, и $D=-2$.

Следовательно, уравнение плоскости $CB_1D_1$ имеет вид $x + y + z - 2 = 0$.

Альтернативный способ нахождения нормального вектора:
Найдем два вектора, лежащих в плоскости:
$\vec{B_1C} = C - B_1 = (1-1, 1-0, 0-1) = (0,1,-1)$
$\vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (0-1, 1-0, 1-1) = (-1,1,0)$
Нормальный вектор $\vec{n}=(A,B,C)$ плоскости перпендикулярен этим двум векторам и может быть найден как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{B_1C} \times \vec{B_1D_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1))$
$\vec{n} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(1) = (1,1,1)$

Таким образом, коэффициенты $A, B, C$ уравнения плоскости равны $1, 1, 1$. Уравнение плоскости: $x+y+z+D=0$.
Используем координаты одной из точек, например $C(1,1,0)$, для нахождения $D$:
$1(1) + 1(1) + 1(0) + D = 0 \Rightarrow 1+1+D = 0 \Rightarrow D = -2$.
Уравнение плоскости: $x+y+z-2=0$.

4.Вычисление расстояния от точки до плоскости: Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае точка $B$ имеет координаты $(1,0,0)$, а уравнение плоскости $CB_1D_1$ - $x+y+z-2=0$.
Значит, $x_0=1, y_0=0, z_0=0$ и $A=1, B=1, C=1, D=-2$.

$d = \frac{|1(1) + 1(0) + 1(0) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$
$d = \frac{|1 + 0 + 0 - 2|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{3}}$
$d = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CB_1D_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

6. В единичном тетраэдре ABCD найдите расстояние от точки D до плоскости ABC.

7. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все ребра которой

Дано:

Единичный тетраэдр $ABCD$.

Длина ребра тетраэдра $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (безразмерная величина или в условных единицах длины, так как "единичный" означает, что длина ребра равна 1 единице измерения без уточнения ее типа).

Найти:

Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$, то есть высоту тетраэдра $h$.

Решение:

Единичный тетраэдр является правильным тетраэдром, все ребра которого имеют одинаковую длину $a=1$.

Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ - это высота $h$ тетраэдра, опущенная из вершины $D$ на основание $ABC$.

Объем правильного тетраэдра можно выразить двумя способами:

1. Через длину ребра $a$:

$V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$

2. Через площадь основания $S_{ABC}$ и высоту $h$:

$V = \frac{1}{3} S_{ABC} h$

Основание $ABC$ является правильным (равносторонним) треугольником со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

Теперь приравняем два выражения для объема:

$\frac{1}{3} S_{ABC} h = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$

Подставим выражение для $S_{ABC}$:

$\frac{1}{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\right) h = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{3}}{12} a^2 h = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$

Выразим высоту $h$:

$h = \frac{a^3}{6\sqrt{2}} \cdot \frac{12}{\sqrt{3} a^2}$

$h = \frac{12 a^3}{6\sqrt{2}\sqrt{3} a^2}$

$h = \frac{2a}{\sqrt{6}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$ для избавления от иррациональности в знаменателе:

$h = \frac{2a\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}}$

$h = \frac{2a\sqrt{6}}{6}$

$h = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Поскольку тетраэдр единичный, длина его ребра $a=1$. Подставим это значение:

$h = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{3}$

$h = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ:

Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ равно $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

плоскости ABC.

7. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости $ACB_1$.

Дано:Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.Все ребра равны 1. То есть, $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Найти:Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$.

Решение:

Обозначим длину ребра призмы как $a = 1$.

Рассмотрим основание $ABC$ призмы. Оно является равносторонним треугольником со стороной $a=1$.

Пусть $M$ — середина ребра $AC$. Тогда отрезок $BM$ является медианой и высотой равностороннего треугольника $ABC$.

Длина высоты $BM$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.Таким образом, $BM = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку призма является правильной, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что $BB_1 \perp AC$ и $BB_1 \perp BM$.

Поскольку $AC \perp BM$ (так как $BM$ — высота) и $AC \perp BB_1$ (так как $BB_1$ перпендикулярна плоскости основания, в которой лежит $AC$), то прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BM$ и $BB_1$, лежащим в плоскости $BB_1M$. Отсюда следует, что $AC \perp$ плоскости $BB_1M$.

Плоскость $ACB_1$ содержит прямую $AC$. Если прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BB_1M$, то и плоскость $ACB_1$ (содержащая $AC$) перпендикулярна плоскости $BB_1M$.

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на плоскость $ACB_1$. Поскольку точка $B$ лежит в плоскости $BB_1M$, и плоскости $ACB_1$ и $BB_1M$ взаимно перпендикулярны, то искомое расстояние равно длине высоты, опущенной из точки $B$ на линию пересечения этих двух плоскостей.

Линия пересечения плоскостей $ACB_1$ и $BB_1M$ — это прямая $MB_1$.

Рассмотрим треугольник $BB_1M$. Этот треугольник является прямоугольным, так как $BB_1 \perp BM$ (угол $B$ прямой).Его катеты:$BB_1 = 1$ (длина ребра призмы).$BM = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем длину гипотенузы $MB_1$ по теореме Пифагора:$MB_1 = \sqrt{BB_1^2 + BM^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4+3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Пусть $h$ — искомое расстояние, то есть длина высоты, опущенной из вершины $B$ на гипотенузу $MB_1$ в прямоугольном треугольнике $BB_1M$.Площадь треугольника $BB_1M$ можно выразить двумя способами:$S = \frac{1}{2} \cdot \text{произведение катетов} = \frac{1}{2} \cdot BB_1 \cdot BM$.$S = \frac{1}{2} \cdot \text{гипотенуза} \cdot \text{высота к гипотенузе} = \frac{1}{2} \cdot MB_1 \cdot h$.

Приравниваем эти выражения:$\frac{1}{2} \cdot BB_1 \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot MB_1 \cdot h$$BB_1 \cdot BM = MB_1 \cdot h$

Выразим $h$:$h = \frac{BB_1 \cdot BM}{MB_1}$$h = \frac{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$$h = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:$h = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$ равно $\frac{\sqrt{21}}{7}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$.

равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости $A_1BD_1$;

8. В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$, все ребра которой

равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости $AB_1C_1$.

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C_1$, обозначим как $d(B, AB_1C_1)$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим призму в декартовой системе координат следующим образом: пусть вершина $C$ находится в начале координат $C=(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная, ее основания являются равносторонними треугольниками. Длина всех ребер призмы, включая стороны оснований и боковые ребра, равна $1$.

Разместим вершину $A$ на оси $Ox$. Тогда координаты $A=(1,0,0)$.

Для вершины $B$ в основании $ABC$ (равносторонний треугольник со стороной $1$):Координата $x_B$ для вершины $B$ относительно $C$ и $A$ будет $\frac{1}{2} \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.Координата $y_B$ для вершины $B$ будет равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a=1$, которая вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Таким образом, координаты вершины $B$ в основании $ABC$ будут $B=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Поскольку высота призмы равна длине ее ребра, то есть $1$, координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1$ будут получены добавлением $1$ к $z$-координатам соответствующих вершин нижнего основания:$C_1=(0,0,1)$$A_1=(1,0,1)$$B_1=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Мы ищем расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до плоскости, проходящей через точки $A(1,0,0)$, $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$, $C_1(0,0,1)$.

Найдем два вектора, лежащие в плоскости $AB_1C_1$:$\vec{AB_1} = B_1 - A = (\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$$\vec{AC_1} = C_1 - A = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $AB_1C_1$ с помощью векторного произведения этих двух векторов:$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$\vec{n} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(-\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(-\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-1))$$\vec{n} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(-\frac{1}{2} + 1) + \mathbf{k}(\frac{\sqrt{3}}{2})$$\vec{n} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Общее уравнение плоскости $AB_1C_1$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя компоненты нормального вектора, получаем:$\frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y + \frac{\sqrt{3}}{2}z + D = 0$Для удобства умножим все члены уравнения на $2$:$\sqrt{3}x - y + \sqrt{3}z + 2D = 0$

Для нахождения свободного члена $D$ подставим координаты точки $A(1,0,0)$, которая лежит в плоскости:$\sqrt{3}(1) - (0) + \sqrt{3}(0) + 2D = 0$$\sqrt{3} + 2D = 0 \Rightarrow 2D = -\sqrt{3} \Rightarrow D = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, уравнение плоскости $AB_1C_1$ есть $\sqrt{3}x - y + \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(x_0, y_0, z_0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до этой плоскости, используя формулу расстояния от точки до плоскости:$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставим значения $A=\sqrt{3}$, $B=-1$, $C=\sqrt{3}$, $D=-\sqrt{3}$ из уравнения плоскости и координаты точки $B$:Числитель: $|\sqrt{3}(\frac{1}{2}) - 1(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}(0) - \sqrt{3}|$$= |\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 - \sqrt{3}|$$= |-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$

Знаменатель: $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (\sqrt{3})^2}$$= \sqrt{3 + 1 + 3} = \sqrt{7}$

Расстояние $d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C_1$ равно $\frac{\sqrt{21}}{7}$.

9. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CA_1B_1$.

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1.

То есть, $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CA_1B_1$.

Решение

Обозначим длину ребра призмы $a=1$.

Введем декартову систему координат.

Пусть начало координат находится в точке $C(0,0,0)$.

Поместим сторону $CA$ на ось $Ox$. Тогда координаты точки $A$ будут $(a,0,0)$.

Поскольку треугольник $ABC$ является правильным, координаты точки $B$ в плоскости $Oxy$ будут $(a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0)$.

Подставив $a=1$, получаем координаты точек:

$C=(0,0,0)$

$A=(1,0,0)$

$B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Так как призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основаниям. Высота призмы равна длине ребра, то есть 1. Следовательно, координаты вершин верхнего основания будут иметь $z$-координату, равную 1.

$C_1=(0,0,1)$

$A_1=(1,0,1)$

$B_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Требуется найти расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $CA_1B_1$.

Найдем уравнение плоскости $CA_1B_1$. Плоскость проходит через точки $C(0,0,0)$, $A_1(1,0,1)$, $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Так как плоскость проходит через начало координат $C(0,0,0)$, свободный член $D$ в общем уравнении плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ равен нулю.

Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{CA_1} = A_1 - C = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$

$\vec{CB_1} = B_1 - C = (1/2-0, \sqrt{3}/2-0, 1-0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = (A,B,C)$ найдем как векторное произведение $\vec{CA_1} \times \vec{CB_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{3}/2) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1/2) + \vec{k}(1 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot 1/2)$

$\vec{n} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i} - \frac{1}{2}\vec{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{k}$

Таким образом, коэффициенты нормального вектора: $A = -\sqrt{3}/2$, $B = -1/2$, $C = \sqrt{3}/2$.

Для удобства можем умножить все коэффициенты на $-2$, получим эквивалентный нормальный вектор: $\vec{n}' = (\sqrt{3}, 1, -\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости $CA_1B_1$ имеет вид: $\sqrt{3}x + 1y - \sqrt{3}z = 0$.

Расстояние от точки $P_0(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае: точка $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, плоскость $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3}z = 0$.

Параметры плоскости: $A = \sqrt{3}$, $B = 1$, $C = -\sqrt{3}$, $D = 0$.

Координаты точки $B$: $x_0 = 1/2$, $y_0 = \sqrt{3}/2$, $z_0 = 0$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|\sqrt{3} \cdot (1/2) + 1 \cdot (\sqrt{3}/2) - \sqrt{3} \cdot 0 + 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + (-\sqrt{3})^2}}$

$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 0|}{\sqrt{3 + 1 + 3}}$

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{7}}$

$d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{21}}{7}$

10. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SAD$.

11. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой

Дано

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1.

$AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAD$, то есть $d(B, SAD)$.

Решение

Для нахождения расстояния от точки до плоскости используем метод объема. Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAD$ является высотой тетраэдра $B-SAD$, если его основанием считать треугольник $SAD$.

Сначала найдем высоту $H$ пирамиды $SABCD$.

Основание $ABCD$ является квадратом со стороной 1. Диагональ квадрата $AC$ равна $\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Пусть $O$ - центр основания $ABCD$. Тогда $SO$ - высота пирамиды ($H$). $SO$ перпендикулярен плоскости $ABCD$.

Длина отрезка $OC$ (половина диагонали $AC$) равна $OC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $SOC$ (угол $SOC=90^\circ$), по теореме Пифагора:

$SO = \sqrt{SC^2 - OC^2}$

$SO = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь вычислим объем всей пирамиды $SABCD$.

Площадь основания $S_{ABCD} = AB^2 = 1^2 = 1$.

Объем $V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$.

Далее рассмотрим тетраэдр $B-SAD$. Объем этого тетраэдра равен объему тетраэдра $S-ABD$ (это одно и то же геометрическое тело, просто рассматриваемое с другой вершиной и основанием).

Площадь основания $\triangle ABD$ равна половине площади квадрата $ABCD$:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Высота тетраэдра $S-ABD$ относительно основания $ABD$ (которое лежит в плоскости $ABCD$) - это высота пирамиды $SO = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Объем тетраэдра $V_{S-ABD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{12}$.

Следовательно, объем $V_{B-SAD} = \frac{\sqrt{2}}{12}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $SAD$. Поскольку все ребра пирамиды равны 1, треугольник $SAD$ является равносторонним треугольником со стороной 1 ($SA=AD=SD=1$).

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{SAD} = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Пусть $h_B$ - искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $SAD$. Тогда объем тетраэдра $B-SAD$ также может быть выражен как:

$V_{B-SAD} = \frac{1}{3} \cdot S_{SAD} \cdot h_B$

Подставим известные значения:

$\frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot h_B$

$\frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot h_B$

Разделим обе части на $\frac{\sqrt{3}}{12}$:

$h_B = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$h_B = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAD$ равно $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

11. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SCD$.

Дано:

• Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.
• Все ребра пирамиды равны 1. То есть $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Перевод в СИ:

• Длина всех ребер $a = 1$ (условная единица, например, метр).

Найти:

• Расстояние от точки $B$ до плоскости $SCD$, т.е. $\rho(B, SCD)$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки до плоскости используем метод объема тетраэдра. Рассмотрим тетраэдр $BSCD$. Его объем $V_{BSCD}$ можно выразить двумя способами:

1. Как $\frac{1}{3}$ произведения площади основания $BCD$ на высоту пирамиды $SO$.2. Как $\frac{1}{3}$ произведения площади основания $SCD$ на искомую высоту от точки $B$ до плоскости $SCD$.

1. Найдем необходимые длины:
   • Так как пирамида правильная четырехугольная и все ее ребра равны 1, основание $ABCD$ является квадратом со стороной $a=1$.
   • Диагональ основания $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
   • Высота пирамиды $SO$ опускается в центр основания $O$. Длина отрезка $OD = \frac{1}{2}BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOD$ (так как $SO \perp ABCD$). $SO^2 = SD^2 - OD^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Следовательно, высота пирамиды $SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Найдем площадь треугольника $BCD$.
   • Треугольник $BCD$ является половиной квадрата $ABCD$. $S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
3. Вычислим объем тетраэдра $SBCD$ (или $BSCD$) с основанием $BCD$ и высотой $SO$:
   • $V_{SBCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{BCD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{12}$.
4. Найдем площадь треугольника $SCD$.
   • Так как все ребра пирамиды равны 1, треугольник $SCD$ является равносторонним треугольником со стороной 1. $S_{SCD} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \text{сторона}^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
5. Пусть $h$ - искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $SCD$, т.е. $h = \rho(B, SCD)$. Выразим объем тетраэдра $BSCD$ с основанием $SCD$ и высотой $h$:
   • $V_{BSCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{SCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{12}h$.
6. Приравняем два выражения для объема тетраэдра $BSCD$:
   • $\frac{\sqrt{3}}{12}h = \frac{\sqrt{2}}{12}$
   • Умножим обе части на 12: $\sqrt{3}h = \sqrt{2}$
   • $h = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
   • Избавимся от иррациональности в знаменателе: $h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

12. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, точка $E$ — середина ребра $SD$. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE$.

Дано:
Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.
Все ребра равны 1: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.
Точка $E$ — середина ребра $SD$.

Перевод в систему СИ:
Длины ребер заданы в условных единицах (безразмерные), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE$.

Решение:
Для решения задачи воспользуемся методом координат.
1. Разместим начало координат $O$ в центре основания пирамиды $ABCD$.
Поскольку пирамида правильная, $S$ находится на оси $z$. Длина стороны основания $a = 1$. Длина диагонали основания $AC = BD = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Расстояние от центра основания до любой вершины основания равно $OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Высота пирамиды $SO$ может быть найдена из прямоугольного треугольника $SOB$: $SO^2 = SB^2 - OB^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $SO = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Определим координаты вершин и точки $E$.
Пусть оси $x$ и $y$ параллельны сторонам основания.
$A = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$
$B = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$
$C = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$
$D = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$
$S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
Точка $E$ — середина ребра $SD$. Используем формулу для координат середины отрезка:
$E = \left(\frac{S_x + D_x}{2}, \frac{S_y + D_y}{2}, \frac{S_z + D_z}{2}\right) = \left(\frac{0 - \frac{1}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 0}{2}\right) = \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.
3. Найдем уравнение плоскости $ACE$.
Для этого найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AC}$ и $\vec{AE}$.
$\vec{AC} = C - A = \left(\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right), \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right), 0 - 0\right) = (1, 1, 0)$.
$\vec{AE} = E - A = \left(-\frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right), \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right), \frac{\sqrt{2}}{4} - 0\right) = \left(-\frac{1}{4} + \frac{2}{4}, \frac{1}{4} + \frac{2}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.
Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $ACE$ можно найти как векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AE}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1/4 & 3/4 & \sqrt{2}/4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\left(1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} - 0 \cdot \frac{3}{4}\right) - \mathbf{j}\left(1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} - 0 \cdot \frac{1}{4}\right) + \mathbf{k}\left(1 \cdot \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{1}{4}\right)$
$\vec{n} = \left(\frac{\sqrt{2}}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{2}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{1}{2}\right)$.
Для удобства умножим нормальный вектор на 4: $\vec{n'} = (\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 2)$.
Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты $\vec{n'}$:
$\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 2z + D = 0$.
Для нахождения $D$ подставим координаты точки $A(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$ в уравнение плоскости:
$\sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}\right) - \sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}\right) + 2(0) + D = 0$
$-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 + D = 0 \Rightarrow D = 0$.
Таким образом, уравнение плоскости $ACE$ есть $\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 2z = 0$.
4. Найдем расстояние от точки $B\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$ до плоскости $ACE$.
Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:
$h = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
В нашем случае $A=\sqrt{2}$, $B=-\sqrt{2}$, $C=2$, $D=0$. Точка $B(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$.
$h = \frac{\left|\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right) - \sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}\right) + 2(0) + 0\right|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 + 2^2}}$
$h = \frac{\left|\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right|}{\sqrt{2 + 2 + 4}}$
$h = \frac{|\sqrt{2}|}{\sqrt{8}}$
$h = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$
$h = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

13. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$.

Дано:

пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная

сторона основания $a = 1$

боковое ребро $l = 2$

Перевод в СИ:

Данные уже представлены в безразмерных величинах или единицах, которые не требуют перевода для решения данной геометрической задачи.

Найти:

расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$ ($h$)

Решение:

В правильной шестиугольной пирамиде вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$ (которая является плоскостью основания) - это высота пирамиды, обозначим её $h = SO$.

Основание пирамиды - правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. То есть, расстояние от центра шестиугольника до любой его вершины равно длине стороны основания. Значит, $OA = OB = OC = OD = OE = OF = a = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, радиусом описанной окружности основания и высотой пирамиды. Например, треугольник $SOA$, где $O$ - центр основания.

В треугольнике $SOA$:

• $SA$ - боковое ребро, $SA = l = 2$.
• $OA$ - радиус описанной окружности основания, $OA = a = 1$.
• $SO$ - высота пирамиды, $SO = h$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $SOA$:

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

$l^2 = h^2 + a^2$

Выразим высоту $h$:

$h^2 = l^2 - a^2$

$h = \sqrt{l^2 - a^2}$

Подставим известные значения $l = 2$ и $a = 1$:

$h = \sqrt{2^2 - 1^2}$

$h = \sqrt{4 - 1}$

$h = \sqrt{3}$

Ответ:

$\sqrt{3}$

14. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SEF$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SEF$.

Решение:

1.Нахождение координат вершин и высоты пирамиды.

Поместим центр основания пирамиды, точку $O$, в начало координат $(0,0,0)$. Так как пирамида правильная шестиугольная, и сторона основания $a=1$, расстояние от центра $O$ до любой вершины основания также равно $a=1$. Вершины основания можно расположить следующим образом:

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $D = (-1, 0, 0)$

• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота пирамиды $H$ находится из прямоугольного треугольника $SOA$, где $OA=1$ (радиус описанной окружности основания), $SA=2$ (боковое ребро).

$H^2 = SA^2 - OA^2$

$H^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$H = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S$ равны $(0, 0, \sqrt{3})$.

2.Нахождение уравнения плоскости $SEF$.

Точки, лежащие в плоскости $SEF$: $S(0, 0, \sqrt{3})$, $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{EF} = F - E = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0 - 0) = (1, 0, 0)$

$\vec{ES} = S - E = (0 - (-\frac{1}{2}), 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), \sqrt{3} - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3})$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $SEF$ можно найти как векторное произведение $\vec{EF} \times \vec{ES}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & \sqrt{3} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(1 \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2})$

$\vec{n} = (0, -\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства можем умножить вектор нормали на $-\frac{2}{\sqrt{3}}$, получим $\vec{n}' = (0, 2, -1)$.

Уравнение плоскости $SEF$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя $\vec{n}'=(0, 2, -1)$, получаем $0x + 2y - z + D = 0$, или $2y - z + D = 0$.

Подставим координаты точки $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ в уравнение плоскости для нахождения $D$:

$2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0 + D = 0$

$-\sqrt{3} + D = 0$

$D = \sqrt{3}$

Таким образом, уравнение плоскости $SEF$ равно $2y - z + \sqrt{3} = 0$.

3.Вычисление расстояния от точки $B$ до плоскости $SEF$.

Координаты точки $B$: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае $A=0, B=2, C=-1, D=\sqrt{3}$, и $(x_0, y_0, z_0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

$d = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \cdot 0 + \sqrt{3}|}{\sqrt{0^2 + 2^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|\sqrt{3} + \sqrt{3}|}{\sqrt{4 + 1}}$

$d = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{5}}$

$d = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$d = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{15}}{5}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{15}}{5}$

15. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SDE$.

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Стороны основания $a = 1$.
Боковые ребра $L = 2$.

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SDE$.

Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду $SABCDEF$. Пусть $O$ — центр основания.

1.Нахождение высоты пирамиды ($SO$). В правильном шестиугольнике сторона основания $a$ равна радиусу описанной окружности. Следовательно, $OA = a = 1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SA$ — боковое ребро, $SO$ — высота пирамиды, $OA$ — радиус описанной окружности основания. По теореме Пифагора: $SO^2 + OA^2 = SA^2$. Подставляя известные значения: $SO^2 + 1^2 = 2^2$. $SO^2 + 1 = 4$. $SO^2 = 3$. $SO = \sqrt{3}$.

2.Расстояние от точки до плоскости с использованием метода объемов. Расстояние от точки $B$ до плоскости $SDE$ ($d(B, SDE)$) можно найти, используя формулу для объема тетраэдра. Рассмотрим тетраэдр $SBDE$. Объем тетраэдра может быть выражен как: $V_{SBDE} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle SDE} \cdot d(B, SDE)$. Отсюда, искомое расстояние: $d(B, SDE) = \frac{3 \cdot V_{SBDE}}{S_{\triangle SDE}}$. Для применения этой формулы нам потребуется найти площадь треугольника $SDE$ и объем тетраэдра $SBDE$.

3.Нахождение площади треугольника $SDE$ ($S_{\triangle SDE}$). Треугольник $SDE$ является равнобедренным, так как $SD = SE = L = 2$. Основание $DE$ является стороной правильного шестиугольника, поэтому $DE = a = 1$. Пусть $M$ — середина стороны $DE$. Тогда $SM$ — высота треугольника $SDE$, проведенная к основанию $DE$. $M$ также является точкой на основании шестиугольника. $OM$ — это апофема правильного шестиугольника (расстояние от центра до середины стороны). Для правильного шестиугольника со стороной $a$, апофема $OM = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. $OM = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$. По теореме Пифагора: $SM^2 = SO^2 + OM^2$. $SM^2 = (\sqrt{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 3 + \frac{3}{4} = \frac{12+3}{4} = \frac{15}{4}$. $SM = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$. Площадь треугольника $SDE$ вычисляется как: $S_{\triangle SDE} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

4.Нахождение объема тетраэдра $SBDE$ ($V_{SBDE}$). Объем тетраэдра $SBDE$ можно также найти по формуле $V = \frac{1}{3} \cdot S_{base} \cdot h$, где в качестве основания берется $\triangle BDE$, а высотой является $SO$ (поскольку вершина $S$ проецируется в центр $O$ основания, а точки $B, D, E$ лежат в плоскости основания). Сначала найдем площадь треугольника $BDE$ ($S_{\triangle BDE}$). Стороны треугольника $BDE$: $DE = a = 1$. $BE$ — малая диагональ правильного шестиугольника. Длина малой диагонали равна $a\sqrt{3}$, следовательно, $BE = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$. $BD$ — большая диагональ правильного шестиугольника, проходящая через центр $O$. Длина большой диагонали равна $2a$, следовательно, $BD = 2 \cdot 1 = 2$. Проверим, является ли $\triangle BDE$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора: $DE^2 + BE^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$. $BD^2 = 2^2 = 4$. Так как $DE^2 + BE^2 = BD^2$, то $\triangle BDE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$. Площадь прямоугольного треугольника $BDE$: $S_{\triangle BDE} = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2 = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Теперь найдем объем тетраэдра $SBDE$: $V_{SBDE} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle BDE} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

5.Вычисление расстояния от точки $B$ до плоскости $SDE$. Используем формулу, выведенную в пункте 2: $d(B, SDE) = \frac{3 \cdot V_{SBDE}}{S_{\triangle SDE}}$. Подставляем найденные значения: $d(B, SDE) = \frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$. Для деления дробей, умножим первую на обратную второй: $d(B, SDE) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{12}{2\sqrt{15}} = \frac{6}{\sqrt{15}}$. Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$: $d(B, SDE) = \frac{6 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{6\sqrt{15}}{15}$. Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $d(B, SDE) = \frac{2\sqrt{15}}{5}$.

16. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SAF$.

Дано:

$SABCDEF$ - правильная шестиугольная пирамида.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAF$, $d(B, SAF)$.

Решение:

1. Найдем высоту пирамиды $SO$. Пусть $O$ - центр основания.

В правильном шестиугольнике сторона основания $a$ равна расстоянию от центра до любой вершины. То есть, $OA = OB = OC = OD = OE = OF = a = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SO$ - высота, $OA$ - радиус описанной окружности основания, $SA$ - боковое ребро.

По теореме Пифагора: $SO^2 = SA^2 - OA^2$

$SO^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$SO = \sqrt{3}$.

2. Определим координаты вершин для удобства вычислений. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим через точку $A$. Ось $Oz$ совпадет с $SO$.

Координаты вершин основания (для шестиугольника со стороной $a=1$):

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершины пирамиды $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

3. Найдем уравнение плоскости $SAF$. Для этого нужны три точки, лежащие в плоскости: $S(0, 0, \sqrt{3})$, $A(1, 0, 0)$, $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости:

$\vec{AS} = S - A = (0-1, 0-0, \sqrt{3}-0) = (-1, 0, \sqrt{3})$

$\vec{AF} = F - A = (1/2-1, -\sqrt{3}/2-0, 0-0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $SAF$ как векторное произведение $\vec{AS} \times \vec{AF}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & \sqrt{3} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (-1/2))$

$\vec{n} = \mathbf{i}(3/2) - \mathbf{j}(\sqrt{3}/2) + \mathbf{k}(\sqrt{3}/2)$

Таким образом, вектор нормали $\vec{n} = (3/2, -\sqrt{3}/2, \sqrt{3}/2)$.

Уравнение плоскости $SAF$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используем координаты нормали и точку $A(1,0,0)$:

$3/2(x-1) - \sqrt{3}/2(y-0) + \sqrt{3}/2(z-0) = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

$3(x-1) - \sqrt{3}y + \sqrt{3}z = 0$

$3x - 3 - \sqrt{3}y + \sqrt{3}z = 0$

Окончательное уравнение плоскости $SAF$: $3x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}z - 3 = 0$.

4. Вычислим расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $SAF$ по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Здесь $(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, а коэффициенты плоскости $A=3, B=-\sqrt{3}, C=\sqrt{3}, D=-3$.

$d(B, SAF) = \frac{|3(1/2) - \sqrt{3}(\sqrt{3}/2) + \sqrt{3}(0) - 3|}{\sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2}}$

$d(B, SAF) = \frac{|3/2 - 3/2 + 0 - 3|}{\sqrt{9 + 3 + 3}}$

$d(B, SAF) = \frac{|-3|}{\sqrt{15}}$

$d(B, SAF) = \frac{3}{\sqrt{15}}$

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$:

$d(B, SAF) = \frac{3}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAF$ равно $\frac{\sqrt{15}}{5}$.