Номер 14, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SEF$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SEF$.

Решение:

1.Нахождение координат вершин и высоты пирамиды.

Поместим центр основания пирамиды, точку $O$, в начало координат $(0,0,0)$. Так как пирамида правильная шестиугольная, и сторона основания $a=1$, расстояние от центра $O$ до любой вершины основания также равно $a=1$. Вершины основания можно расположить следующим образом:

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $D = (-1, 0, 0)$

• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота пирамиды $H$ находится из прямоугольного треугольника $SOA$, где $OA=1$ (радиус описанной окружности основания), $SA=2$ (боковое ребро).

$H^2 = SA^2 - OA^2$

$H^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$H = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S$ равны $(0, 0, \sqrt{3})$.

2.Нахождение уравнения плоскости $SEF$.

Точки, лежащие в плоскости $SEF$: $S(0, 0, \sqrt{3})$, $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{EF} = F - E = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0 - 0) = (1, 0, 0)$

$\vec{ES} = S - E = (0 - (-\frac{1}{2}), 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), \sqrt{3} - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3})$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $SEF$ можно найти как векторное произведение $\vec{EF} \times \vec{ES}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & \sqrt{3} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(1 \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2})$

$\vec{n} = (0, -\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства можем умножить вектор нормали на $-\frac{2}{\sqrt{3}}$, получим $\vec{n}' = (0, 2, -1)$.

Уравнение плоскости $SEF$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя $\vec{n}'=(0, 2, -1)$, получаем $0x + 2y - z + D = 0$, или $2y - z + D = 0$.

Подставим координаты точки $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ в уравнение плоскости для нахождения $D$:

$2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0 + D = 0$

$-\sqrt{3} + D = 0$

$D = \sqrt{3}$

Таким образом, уравнение плоскости $SEF$ равно $2y - z + \sqrt{3} = 0$.

3.Вычисление расстояния от точки $B$ до плоскости $SEF$.

Координаты точки $B$: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае $A=0, B=2, C=-1, D=\sqrt{3}$, и $(x_0, y_0, z_0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

$d = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \cdot 0 + \sqrt{3}|}{\sqrt{0^2 + 2^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|\sqrt{3} + \sqrt{3}|}{\sqrt{4 + 1}}$

$d = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{5}}$

$d = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$d = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{15}}{5}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{15}}{5}$