Номер 11, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SCD$.

Дано:

• Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.
• Все ребра пирамиды равны 1. То есть $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Перевод в СИ:

• Длина всех ребер $a = 1$ (условная единица, например, метр).

Найти:

• Расстояние от точки $B$ до плоскости $SCD$, т.е. $\rho(B, SCD)$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки до плоскости используем метод объема тетраэдра. Рассмотрим тетраэдр $BSCD$. Его объем $V_{BSCD}$ можно выразить двумя способами:

1. Как $\frac{1}{3}$ произведения площади основания $BCD$ на высоту пирамиды $SO$.2. Как $\frac{1}{3}$ произведения площади основания $SCD$ на искомую высоту от точки $B$ до плоскости $SCD$.

1. Найдем необходимые длины:
   • Так как пирамида правильная четырехугольная и все ее ребра равны 1, основание $ABCD$ является квадратом со стороной $a=1$.
   • Диагональ основания $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
   • Высота пирамиды $SO$ опускается в центр основания $O$. Длина отрезка $OD = \frac{1}{2}BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOD$ (так как $SO \perp ABCD$). $SO^2 = SD^2 - OD^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Следовательно, высота пирамиды $SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Найдем площадь треугольника $BCD$.
   • Треугольник $BCD$ является половиной квадрата $ABCD$. $S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
3. Вычислим объем тетраэдра $SBCD$ (или $BSCD$) с основанием $BCD$ и высотой $SO$:
   • $V_{SBCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{BCD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{12}$.
4. Найдем площадь треугольника $SCD$.
   • Так как все ребра пирамиды равны 1, треугольник $SCD$ является равносторонним треугольником со стороной 1. $S_{SCD} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \text{сторона}^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
5. Пусть $h$ - искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $SCD$, т.е. $h = \rho(B, SCD)$. Выразим объем тетраэдра $BSCD$ с основанием $SCD$ и высотой $h$:
   • $V_{BSCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{SCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{12}h$.
6. Приравняем два выражения для объема тетраэдра $BSCD$:
   • $\frac{\sqrt{3}}{12}h = \frac{\sqrt{2}}{12}$
   • Умножим обе части на 12: $\sqrt{3}h = \sqrt{2}$
   • $h = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
   • Избавимся от иррациональности в знаменателе: $h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$