Номер 5, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CB_1D_1$.

6. В единичном тетраэдре $ABCD$ найдите расстояние от точки $D$ по

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Точка $B$.

Плоскость $CB_1D_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (безразмерная величина, так как единица измерения не указана).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CB_1D_1$.

Решение:

1.Введение системы координат: Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Оси координат направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$. Поскольку куб единичный, длина каждого ребра равна 1. Тогда координаты вершин будут следующими:

$A=(0,0,0)$
$B=(1,0,0)$
$C=(1,1,0)$
$D=(0,1,0)$
$A_1=(0,0,1)$
$B_1=(1,0,1)$
$C_1=(1,1,1)$
$D_1=(0,1,1)$

2.Определение координат точки и плоскости: Нам нужно найти расстояние от точки $B(1,0,0)$ до плоскости, проходящей через точки $C(1,1,0)$, $B_1(1,0,1)$ и $D_1(0,1,1)$.

3.Нахождение уравнения плоскости $CB_1D_1$: Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Чтобы найти коэффициенты $A, B, C, D$, подставим координаты трех точек $C$, $B_1$, $D_1$ в это уравнение:

Для $C(1,1,0): A(1) + B(1) + C(0) + D = 0 \Rightarrow A + B + D = 0 \quad (1)$
Для $B_1(1,0,1): A(1) + B(0) + C(1) + D = 0 \Rightarrow A + C + D = 0 \quad (2)$
Для $D_1(0,1,1): A(0) + B(1) + C(1) + D = 0 \Rightarrow B + C + D = 0 \quad (3)$

Вычтем уравнение (2) из (1): $(A+B+D) - (A+C+D) = 0 \Rightarrow B-C = 0 \Rightarrow B=C$.
Вычтем уравнение (3) из (2): $(A+C+D) - (B+C+D) = 0 \Rightarrow A-B = 0 \Rightarrow A=B$.
Таким образом, мы получаем, что $A=B=C$.
Подставим $A=B$ в уравнение (1): $A+A+D = 0 \Rightarrow 2A+D = 0 \Rightarrow D = -2A$.
Для простоты выберем $A=1$. Тогда $B=1$, $C=1$, и $D=-2$.

Следовательно, уравнение плоскости $CB_1D_1$ имеет вид $x + y + z - 2 = 0$.

Альтернативный способ нахождения нормального вектора:
Найдем два вектора, лежащих в плоскости:
$\vec{B_1C} = C - B_1 = (1-1, 1-0, 0-1) = (0,1,-1)$
$\vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (0-1, 1-0, 1-1) = (-1,1,0)$
Нормальный вектор $\vec{n}=(A,B,C)$ плоскости перпендикулярен этим двум векторам и может быть найден как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{B_1C} \times \vec{B_1D_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1))$
$\vec{n} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(1) = (1,1,1)$

Таким образом, коэффициенты $A, B, C$ уравнения плоскости равны $1, 1, 1$. Уравнение плоскости: $x+y+z+D=0$.
Используем координаты одной из точек, например $C(1,1,0)$, для нахождения $D$:
$1(1) + 1(1) + 1(0) + D = 0 \Rightarrow 1+1+D = 0 \Rightarrow D = -2$.
Уравнение плоскости: $x+y+z-2=0$.

4.Вычисление расстояния от точки до плоскости: Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае точка $B$ имеет координаты $(1,0,0)$, а уравнение плоскости $CB_1D_1$ - $x+y+z-2=0$.
Значит, $x_0=1, y_0=0, z_0=0$ и $A=1, B=1, C=1, D=-2$.

$d = \frac{|1(1) + 1(0) + 1(0) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$
$d = \frac{|1 + 0 + 0 - 2|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{3}}$
$d = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CB_1D_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.