Номер 10, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SAD$.

11. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой

Дано

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1.

$AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAD$, то есть $d(B, SAD)$.

Решение

Для нахождения расстояния от точки до плоскости используем метод объема. Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAD$ является высотой тетраэдра $B-SAD$, если его основанием считать треугольник $SAD$.

Сначала найдем высоту $H$ пирамиды $SABCD$.

Основание $ABCD$ является квадратом со стороной 1. Диагональ квадрата $AC$ равна $\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Пусть $O$ - центр основания $ABCD$. Тогда $SO$ - высота пирамиды ($H$). $SO$ перпендикулярен плоскости $ABCD$.

Длина отрезка $OC$ (половина диагонали $AC$) равна $OC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $SOC$ (угол $SOC=90^\circ$), по теореме Пифагора:

$SO = \sqrt{SC^2 - OC^2}$

$SO = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь вычислим объем всей пирамиды $SABCD$.

Площадь основания $S_{ABCD} = AB^2 = 1^2 = 1$.

Объем $V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$.

Далее рассмотрим тетраэдр $B-SAD$. Объем этого тетраэдра равен объему тетраэдра $S-ABD$ (это одно и то же геометрическое тело, просто рассматриваемое с другой вершиной и основанием).

Площадь основания $\triangle ABD$ равна половине площади квадрата $ABCD$:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Высота тетраэдра $S-ABD$ относительно основания $ABD$ (которое лежит в плоскости $ABCD$) - это высота пирамиды $SO = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Объем тетраэдра $V_{S-ABD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{12}$.

Следовательно, объем $V_{B-SAD} = \frac{\sqrt{2}}{12}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $SAD$. Поскольку все ребра пирамиды равны 1, треугольник $SAD$ является равносторонним треугольником со стороной 1 ($SA=AD=SD=1$).

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{SAD} = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Пусть $h_B$ - искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $SAD$. Тогда объем тетраэдра $B-SAD$ также может быть выражен как:

$V_{B-SAD} = \frac{1}{3} \cdot S_{SAD} \cdot h_B$

Подставим известные значения:

$\frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot h_B$

$\frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot h_B$

Разделим обе части на $\frac{\sqrt{3}}{12}$:

$h_B = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$h_B = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAD$ равно $\frac{\sqrt{6}}{3}$.