Номер 17, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SCD$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания $a = 1$.
Боковое ребро $l = 2$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SCD$.

Решение:

1. Найдём высоту пирамиды $SO$.
Пусть $O$ – центр основания пирамиды. В правильном шестиугольнике сторона основания $a$ равна радиусу описанной окружности $R$. Следовательно, $OA = a = 1$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SA$ – боковое ребро, $OA$ – радиус описанной окружности, $SO$ – высота пирамиды.
По теореме Пифагора: $SO^2 + OA^2 = SA^2$.
Подставим известные значения: $H^2 + 1^2 = 2^2$.
$H^2 + 1 = 4$.
$H^2 = 3$.
Высота пирамиды $SO = \sqrt{3}$.

2. Вычислим объем пирамиды $SBCD$.
Рассмотрим пирамиду $SBCD$ с вершиной $S$ и основанием $BCD$. Высота этой пирамиды относительно основания $BCD$ (лежащего в плоскости основания шестиугольника) равна $SO$.
Для вычисления площади основания $BCD$:
Треугольник $BCD$ образован двумя сторонами шестиугольника ($BC=1$, $CD=1$) и диагональю $BD$. Угол $BCD$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$.
Площадь треугольника $BCD$ вычисляется по формуле: $S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin(\angle BCD)$.
$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Объем пирамиды $SBCD$: $V_{SBCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{BCD} \cdot SO$.
$V_{SBCD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

3. Вычислим площадь грани $SCD$.
Грань $SCD$ – это треугольник со сторонами $SC=2$, $SD=2$, $CD=1$. Он является равнобедренным.
Пусть $M$ – середина стороны $CD$. Тогда $SM$ – высота треугольника $SCD$.
$CM = \frac{CD}{2} = \frac{1}{2}$.
В прямоугольном треугольнике $SMC$ по теореме Пифагора: $SM^2 + CM^2 = SC^2$.
$SM^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2^2$.
$SM^2 + \frac{1}{4} = 4$.
$SM^2 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$.
$SM = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.
Площадь треугольника $SCD$: $S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SM$.
$S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

4. Найдём расстояние от точки $B$ до плоскости $SCD$ методом объема.
Расстояние от точки $B$ до плоскости $SCD$ ($h_B$) можно найти, используя формулу объема пирамиды $BSCD$. Объем пирамиды $BSCD$ совпадает с объемом пирамиды $SBCD$.
$V_{BSCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{SCD} \cdot h_B$.
Мы знаем $V_{SBCD} = \frac{1}{4}$ и $S_{SCD} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
Подставим эти значения в формулу: $\frac{1}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot h_B$.
Умножим обе части уравнения на 12 для упрощения:
$3 = \sqrt{15} \cdot h_B$.
Выразим $h_B$: $h_B = \frac{3}{\sqrt{15}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$:$h_B = \frac{3\sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SCD$ равно $\frac{\sqrt{15}}{5}$.