Номер 18, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SAD$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $AB = 1$.

Боковое ребро $SA = 2$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAD$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть центр основания правильной шестиугольной пирамиды, точка $O$, является началом координат $(0,0,0)$.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, $OA = AB = 1$.

Расположим ось $Ox$ так, чтобы она проходила через вершины $A$ и $D$. Тогда координаты вершин $A$ и $D$ будут:

$A = (1, 0, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

Вычислим высоту пирамиды $SO$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ ($SO \perp OA$), по теореме Пифагора:

$SO^2 = SA^2 - OA^2$

$SO^2 = 2^2 - 1^2$

$SO^2 = 4 - 1 = 3$

$SO = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S$ (поскольку $S$ лежит на оси $Oz$) будут:

$S = (0, 0, \sqrt{3})$

Найдем координаты точки $B$. В правильном шестиугольнике угол $AOB$ равен $60^\circ$. Точка $B$ находится на расстоянии $1$ от начала координат под углом $60^\circ$ к оси $Ox$.

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0)$

$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Теперь определим уравнение плоскости $SAD$. Точки $S(0, 0, \sqrt{3})$, $A(1, 0, 0)$ и $D(-1, 0, 0)$ лежат в этой плоскости. Заметим, что все эти три точки имеют $y$-координату равную $0$. Это означает, что плоскость $SAD$ совпадает с координатной плоскостью $xz$. Уравнение плоскости $xz$ имеет вид $y=0$.

Таким образом, уравнение плоскости $SAD$ есть $0x + 1y + 0z + 0 = 0$, или просто $y=0$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

В нашем случае, точка $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, а плоскость $SAD$ задана уравнением $y=0$ (т.е. $A=0, B=1, C=0, D=0$).

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$

$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{1}}$

$d = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAD$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.