Номер 21, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SCE$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания $a = 1$.
Боковое ребро $l = 2$.

(Перевод в СИ не требуется, так как единицы измерения не указаны.)

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SCE$.

Решение:

1. Определим координаты вершин пирамиды. Разместим центр основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ находится над центром основания, то есть $S=(0,0,h)$, где $h$ — высота пирамиды.
В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, расстояние от центра до любой вершины основания равно $a=1$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $SC$, высотой пирамиды $SO$ и радиусом основания $OC$.
$SO^2 + OC^2 = SC^2$
$h^2 + 1^2 = 2^2$
$h^2 + 1 = 4$
$h^2 = 3$
$h = \sqrt{3}$.
Таким образом, координаты вершины $S = (0,0,\sqrt{3})$.

2. Определим координаты вершин основания. Разместим вершину $A$ на оси $Ox$.
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
Нам нужны координаты точек $S(0,0,\sqrt{3})$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ для плоскости $SCE$ и точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

3. Найдем уравнение плоскости $SCE$.
Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{SC} = C - S = (-\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$.
$\vec{SE} = E - S = (-\frac{1}{2} - 0, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$.
Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $SCE$ можно найти как векторное произведение $\vec{SC} \times \vec{SE}$:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \mathbf{i} \left( \frac{\sqrt{3}}{2}(-\sqrt{3}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\sqrt{3}) \right) - \mathbf{j} \left( (-\frac{1}{2})(-\sqrt{3}) - (-\frac{1}{2})(-\sqrt{3}) \right) + \mathbf{k} \left( (-\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) \right)$
$\vec{n} = \mathbf{i} \left( -\frac{3}{2} - \frac{3}{2} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$
$\vec{n} = (-3, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Для удобства умножим нормальный вектор на 2: $\vec{n'} = (-6, 0, \sqrt{3})$.
Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.
Используем $A=-6$, $B=0$, $C=\sqrt{3}$: $-6x + 0y + \sqrt{3}z + D = 0 \Rightarrow -6x + \sqrt{3}z + D = 0$.
Подставим координаты точки $S(0,0,\sqrt{3})$ в уравнение плоскости, чтобы найти $D$:
$-6(0) + \sqrt{3}(\sqrt{3}) + D = 0$
$3 + D = 0 \Rightarrow D = -3$.
Уравнение плоскости $SCE$: $-6x + \sqrt{3}z - 3 = 0$. Или, умножив на $-1$: $6x - \sqrt{3}z + 3 = 0$.

4. Найдем расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до плоскости $6x - \sqrt{3}z + 3 = 0$.
Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
$d = \frac{|6(\frac{1}{2}) - \sqrt{3}(0) + 3|}{\sqrt{6^2 + 0^2 + (-\sqrt{3})^2}}$
$d = \frac{|3 - 0 + 3|}{\sqrt{36 + 0 + 3}}$
$d = \frac{|6|}{\sqrt{39}}$
$d = \frac{6}{\sqrt{39}}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{39}$:
$d = \frac{6\sqrt{39}}{39} = \frac{2\sqrt{39}}{13}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SCE$ равно $\frac{2\sqrt{39}}{13}$.